Tip:
Highlight text to annotate it
X
Ütleme, et mul on vektorite komplekt -- ma ei taha
teha seda nii tiheda.
Ütleme, et üks vektoritest on vektor [2,3] ja
teine vektor on vektor [4,6].
Ma tahan vastata küsimusele: mis on nende
vektorite ulatus?
Oletame, et need on kohavektorid.
Millised on kõik vektorid, mida need
kaks vektorit saavad esindada?
Kui sa lihtsalt vaatad neid ja tuletad meelde, et ulatus on
see,mida sa saad esitada esimese ja teise vektori
lineaarsete kombinatsioonidega.
See on kõigi vektorite kogum, kui mul on mingi
konstant(c1) korda esimene vektor pluss mingi
teine konstant(c2) korda teine vektor,need on kõik võimalused
mida ma saan esitada, kui ma asendan
c1 ja c2 arvudega.
Esimene asi,mis sa võid märgata on, et
vektor 2 on kaks korda
suurem kui esimene vektor.
Nii et ma võin selle niimoodi ümberkirjutada.
Ma võin selle kirjutada kui c1 korda vektor [2,3] pluss c2
korda vektor -- ja siin, ma ei kirjuta vektorit
[4,6] , vaid kirjutan 2 korda vektor [2,3], sest
see teine vektor on esimese vektori korrutis.
Nii et ma võin kirjutada c2 korda 2 korda [2,3].
Ma arvan, et te näete, et see on võrde [4,6]-ga.
2 korda 2 on 4.
2 korda 3 on 6.
Nüüd me saame seda natukene lihtsustada.
Me saame selle ümberkirjuada, kui c1 pluss 2c2, kõik see, korda
meie vektor [2,3]
See on lihtsalt mingi väljamõeldud konstant.
See on suvaline konstant pluss 2 korda mingi
teine suvaline konstant.
Me võime kõike seda kutsuda c3 korda minu vektor [2,3]
Selles situatsioosin, kuigi me alustasime kahe
vektoriga ja ma ütlesin, et nende kahe vektorit ulatus
on võrde kõikide vektoritega, mida saab joonistada
mingi lineearse kombinatsiooniga nendest,
ükskõik milline kombinatsioon nendest, kui ma ainult
kasutan seda vahetust siin, siis selle saab taandada skalaar
-korrutiseks minu esimesest vektorist.
Ma oleks võinud seda ka teistpidi teha.
Ma oleks võinud asendada selle vektori, kui 0.5 korda
see ja lihtsalt teinud skalaarkorrutise
teisest vektorist.
Aga fakt on, et me ei pea rääkima kahe vektori
lineaarsest kombinatsioonist, sest ma saan selle taandada
ühe vektori skalaarkorrutiseks.
Me oleme näinud R2-s ühe vektori skalaar kombinatsiooni
eriti, kui *** on kohavektorid.
Näiteks see vektor [2,3].
See on [2,3].
See näeb selline välja.
Selle vektori kõik skalaarkombinatsioonid on
selle joone peal.
Nii, et [2,3] on seal.
*** on kõik selle joone peal
mõlemas suunas.
Ja kui ma võtan [2,3] negatiivsed väärutsed,
siis ma lähen sinna alla.
Kui ma võtan positiivsed väärtused, siis ma lähen siia.
Kui ma võtan väga suured positiivsed väärtused, siis
see läheb siia üles.
Ma saan esitada neid vektoreid ja kui need panna
tava olekusse, nende nooled
jätaksid selle joone.
Võib öelda, et minu vektorite komplekti ulatus -- las ma
panen selle siia.
Vektorite [2,3] ja [4,6] ulatus on
see joon siin.
Kuigi meil on kaks vektorit,
*** on peaaegu kollineaarsed(ühel joonel).
*** on üksteise korrutised.
Kui see on [2,3], siis [4,6] on siin.
Lihtsalt natukene pikem.
*** on kollineaarsed.
Need kaks on kollineaarsed.
Kui meil on kaks kollineaarset vektorit
R2-s, nende ulatus on sellel joonel.
Sa ei saa panna mingit vektorit
las ma võtan uue värvi.
Sa ei saa panna seda vektorit siia, nii et see oleks
nende kahe vektori kombinatsioon.
Sellelt joonelt ei ole võimalik välja murda.
Sellepärast ei saa kõike esitada R2-s.
Ulatus on ainult see joon siin.
Ühine idee sellele ja pane tähele, sul oli kaks
vektorit, aga see taandus üheks vektoriks
kui sa võtsid selle lineaarse kombinatsiooni.
Seotud idee on siin, et me kutsume seda hulka
lineaarselt sõltuvaks.
Las ma kirjutan selle: lineaarselt sõltuv.
See on lineaarselt sõltuv hulk.
Lineaarselt sõltuv tähendab, et ühte vektoritest
sellest hulkast saab esitada mingite teiste vektorite
kombinatsioonidega sellest hulgast.
Mõtle niimoodi, et ükskõik, mis vektori sa valid, mida saab
kirjutada teiste abil, see ei lisa
uut suunatundlikkust või mingit uut infromatsiooni,õigus?
Sellel juhul meil juba oli vektor, mis läks
selles suunas ja kui sa paned selle [4,6] selle sisse, siis sa
lähed samas suunas.
See ei anna meile mingit uut dimensiooni, mis
laseb meil siit joonelt välja murda.
Kujuta, et sul on üks vektor, mis on selline,
teine, mis on selline,
kaks vektorit, mis pole kollineaarsed,
*** loovad kahe dimensioonilise ruumi.
Nemad määravad kahe dimensioonilise ruumi.
Ütleme, et see tasapind on määratud
nende kahe vektoriga.
R3 defineerimiseks ei tohi kolmas vektor selles hulgas
olla samal tasapinnal koos ülejäänud kahega.
Kui see kolmas vektor on samal tasapinnal teistega, siis see
ei lisa meile uusi suundi.
Nii et see kolme vektori hulk on
lineaarselt sõltuv.
Teine viis kuidas sellest mõelda, on et need kaks lillat
vektorit ulatuvad sellel tasandil, ulatuvad tasandil,
mida *** defineerivad.
Kõik selles alas ning ükskõik, mis suunaga võib olla
ükskõik, mis vektor sellel alal.
Igat vektorit selles alas saab kirjutada lineaarse kombinatsiooniga
sellest ja sellest vektorist, mis tähendab, et
kui see vektori on selles alas, seda saab esitada lineaarse kombinatsiooniga
sellest ja sellest vektorist.
See roheline vektor, mille ma lisasin, ei lisa midagi meie
algsete vektorite ulatusele, sest see on
lineaarselt sõltuv hulk.
Seda saab esitada selle ning selle vektori summana,
sest need kaks vektorit on selle ala piirideks.
Et nende kolme vektori ulatus
saaks dimensionaalsemaks või hakkaks esitada R3-e,kolmas
vektor peab sellest alas välja minema.
See peab sellest alast välja minema.
Kui vektor läheb alast välja, siis see tähendab, et
seda vektorit ei saa esitada algses tasapinnas, sest
see on kahe algse vektori alast väljas.
Kui see on väljas, siis seda ei saa esitada selle ning selle
lineaarse kombinatsiooniga.
Kui sul oleks ainult need kolm vektorit,
mitte midagi muud, mida ma joonistasin, siis
see oleks lineaarselt sõltuv.
Las ma joonistan veel mõned näited.
See eelmine võis olla liiga abstraktne.
Näiteks, kui mul on vektorid [2,3],
vektor [7,2] ja vektor [9,5] ning ma küsin sult,
kas need on lineaarselt sõltuvad või sõltumatud.
Alguses sa ütled, et see ei ole raske.
Vaatame, see ei ole skalaarkorrutis sellest.
See ka ei tundu olevat skalaarkorrutis
ülejäänud kahest.
Võib-olla *** on lineaarselt sõltumatud.
Aga kui sa hakkad neid uurima, siis sa
näed, et v, kutsume seda v üheks ,vektor 2, pluss vektor 2, kui me
kutsume seda v kaheks, on võrdne vektor kolmega.
Vektor 3 on lineaar kombinatsioon
nendest kahest vektorist.
Nii et see on lineaarselt sõltuv hulk.
Kui me kujutaks seda graafikul, joonistame kahe dimensioonilise
ning see on üldine idee-- las ma mõtlen.
Ma joonistan R2.
Kui sul on kolm kahe dimensioonilist vektorit, siis
üks neist on üleliigne.
Üks neist on kindlasti üleliigne.
Näiteks, kui me teeme vektori [2,3],
see on esimene vektor.
Joonistan selle tavalises positsioonis.
Joonistan vektori [7,2] ning ma saan näidata, et
iga punkt R2-s, saab esitada lineaarse kombinatsoonina
nendest kahest vektorist.
Me saame teha graafilise kujunduse.
Ma olen teinud seda eelmistes videotes, nii et ma võin
kirjutada, et v1 ja v2 ulatus on võrdne R2-ga.
See tähendab, et iga vektor ja iga positsioon siin on võimalik
määratleda nende kahe vektori lineaarse kombinatsioonina.
Vektor [9,5] on R2-s.
Kas see ikka on R2-s?
Loomulikult.
Ma just joonistasin selle siia tasandile.
See on meie kahe dimensioonilises, reaalsete arvudega ruumis.
Me võime kutsuda seda ruumiks, kuid meie nimetame seda R2-ks.
See no seal.
Täpselt seal.
Ma just väitsin, et kõike R2-s saab esitada
nende kahe vektori lineaarse kombinatsiooniga.
Kuna see on selgelt R2-s, siis seda saab
esitada lineaarse kombinatsiooni kaudu.
Loodetavasti sa oled hakanud arusaama suhet ulatuse ja
lineaarse sõltumatuse või
sõltuvuse vahel.
Las ma teen veel ühe näite.
Oletame, et mul on vektorid--las ma valin uue värvi.
Oletame, et mul on vektor-- ja see on
üpris ilmne--[7,0], see on mu v1, ja siis on mul
teine vektor [0,-1]
See on mu v2.
Kas need vektorid on lineaarselt sõltumatud?
Kas see on lineaarselt sõltumatu?
Kas ma saan ühte neist esitada kui
kombinatsioon teisest?
Kui ma ütlen kombinatsioonina, siis sa
peaksid ühte võrdlema teisega, sest siin on ainult
kaks vektorit.
Kui ma üritan sellele juurde liita, siis ma
pean ainult sellega tegelema, sellepärast ainuke asi,
mis ma teha saan on korrutada.
Kuid ma ei saa midagi teha.
Kui ma korrutan seda vektorit mis tahes arvuga või
mõni konstant ning korrutan selle, see arv
jääb alati nulliks.
See jääb alati nulliks.
Ükskõik mis arvuga ma korrutan seda, ma ei saa
kunagi sellist vektorit.
Samuti ükskõik,mis arvuga ma seda vektorit korrutan,
ülemine argument jääb alati nulliks.
Nii et mul ei ole mingisugust võimalust saada sellist vektorit.
Mõlemad need vektorid, sa ei saa esitada ühte vektorit
kobminatsioonina teisest vektorist.
Sellepärast on need kaks lineaarselt sõltumatud.
Sa näed seda, kui ma joonistan selle välja.
Üks on [7,0], mis on selline.
Las ma teen selle mitte kollase värviga.
[7,0]
Ja üks on [0,-1].
Nüüd on selgesti näha, et kui sa võtad lineaar
kombinatsiooni nendest kahest, siis sa saad esitada
ükskõik mida R2-s.
Nii et nende ulatus, et saada mingi arvamus v1 ja v2 ulatusest,
on võrde R2-ga.
See on huvitav tähelepanek.
Ma ütlesin, et v1 ja v2 ulatus on R2.
Mis on v1,v2 ja v3 ulatus
selles näites?
Ma juba ütlesin sulle.
Ma ennist näitasin, et seda kolmandat vektorit võib esitada
lineaar kombinatsioonina nendest kahest.
See on lihtsalt nende kahe summa.
Ma joonistan selle siia.
See on lihtsalt need kaks vektorit kokku liidetuna.
Sellepärast saab seda selegsti esitada lineaar
kombinatsioonina nendest kahest.
Aga mis on selle ulatus?
Kuna see on liigne, siis see tähendab,
et see ei muuda ulatust,
See ei muuda kõiki võimalikke lineaar kombinatsioone.
Sellepärast on ka selle ulatus R2.
Erinevus on selles, et see oli rohkemate vektoritega, kui sul vaja oli, et
joonistada R2 ulatus.
R2 on kahe dinemsiooniline ala ja sul oli vaja ainult kahte vektorit.
See oli natukene efektiivsem viis, et varustada
alus ning ma ei ole veel ametlikult defineerinud seda alust, kuid
ma tahan kasutada seda kõnekeeles, sest
siis sa saad sellest aru, kui ma defineerin selle ametlikult.
See annab parema aluse või see annab aluse
mitte üleliigsetest vekotrite hulgast, mis võivad esitada R2-te.
Kuid see, see siin, on üleliigne.
Sellepärast see ei ole hea alus R2 jaoks.
Las ma toon veel ühe näite kolmes dimensioonis.
Järgmises videos ma teen ametlikuma
defionitsioonie lineaarsest sõltuvusest ja sõltumatusest.
Oletame, et mul on vektor [2,0,0].
Las ma teen samalaadse argumendi nagu ma ennist tegin:
vektor [2,0,0], vektor [0,1,0] ja vektor [0,0,7].
Me oleme nüüd R3-s.
Kõik need on kolme dimensioonilised vektorid.
Kas need on lineaar sõltuvad või
sõltumatud?
Vabandust, kas need on lineaarselt sõltuvad või sõltumatud?
Ei ole võimalik saada nende kahe vektori kombinatsioonina,
et ma saaks siia arvu 0, et
teha vektor 3.
Sest ükskõik, mis arvuga ma korrutan seda
bubg seda, viimane argument on 0.
See lisab uue suuna meie
vektorite hulgale.
Samuti ma ei saa midagi teha-- ei ole ühtegi
kombinatsiooni sellst ning sellest, et ma saaks
mingi nullist erineva argumendi siia.
Lõpetuseks, ükski kombinatsioon sellest ning sellest
ei anna mulle nullist erinevat argumenti.
Seega see on lineaarselt sõltumatu hulk.
Kui sa joonistaks need kolmes dimensioonis,siis sa
näeksid, et ükski nendest--need kolm ei
asetse samal tasandil.
Loomulikult kaks nendest asetseksid samal tasandil, aga kui
sa joonistaks selle, siis sa saad [2,0].
Ütleme, et see on x-telg.
See on [2,0,0].
Siis sul on [0,1,0].
Võib-olla see on y-telg.
Ning siis sul on [0,0,7].
See näeks välja midagi sellist.
See näeb peaaegu välja nagu, sinu kolm dimensioonilised teljed,
see näeb peaaegu välja nagu vektorid i,j,k.
Ainult, et *** on korrutatud.
Aga seda saab alati parandada, kui
sa jagad need.
Me hoolime ainult nende lineaarsetest kombinatsioonidest.
Nende kolme vektorite ulatus siin, sest
*** kõik lisavad uusi suunde, on R3.
Igastahes ma lõpetan selle video siin.
Ma mõistan, et ma olen teinud aina pikemaid videosi ja
ma tahan jälle hakata tegema lühemaid videosi.
Järgmises videos ma esitan ametlikuma
definitsiooni lineaarsest sõltuvusest ja me
teeme veel rohkem näiteid.