Tip:
Highlight text to annotate it
X
Eelmises videos nägime, kui meil on mingi joon, mis on
defineeritud kõigi vektorite skalaarkorrutiste summana, - ma
kirjutan selle nii.
Skalaarkorrutised
on mingid reaalarvud.
Me defineerisime kujutise, ja ma ei rääkinud eriti
kujutiste terminitest, kuid see oli kujutis.
Me defineerisime projektsiooni sellele joonele L kui
kujutisena.
Me joonistasime kujutised R2-s, kuid
see võib olla kujutis Rn-ist Rn-i.
Me defineerisime , et projektsioon x-ist L-ile oli
võrdne korrutise tulemusega x-ist, selle defineeritud vektoriga.
x*see vektor, jagatud selle
vektoriga korda iseendaga.
Kõik see korda defineeritav vektor joonel.
See oli meie definitsioon.
Mõned asjad võisid sulle silma jääda kui me seda
esmalt nägime.
Kui korrutad vektori iseendaga , mis saad tulemuseks?
Me teame, et kui ma võtan mingi vektori ja korrutan selle
endaha, siis on see samaväärne
vektor ruuduga.
Me saame selle kirjutada võrdseks x*v jagada
see pikkus v ruudus ja kõik see korda v
Kas poleks hea, kui vektori v pikkus oleks 1.
v pikkus oli võrdne 1
Kui v=1, siis saab öelda, et v
on ühikvektor.
Meie projektsiooni vorm oleks
lihtsustatuna x*v
See on lihtsalt skalaarnumber
korda v
võib tekkida küsimus et kuidas me teame, et see on ˇ
ühikvektor või mitte.
Ma kirjutan selle nii.
Kui ma tegin seda eelmises videos, siis ma võtsin
ühe joone nii.
See joon on võimalik defineerida selle vektori v abil sellel joonel.
Seda on võimalik teha iga vektoriga, mis kuuluvad joonele.
Vektor v võib olla selline.
Ütleme, et keegi annab sulle vektori v mis
pole ühekvektor.
Ütleme, et selle pikkus pole 1
Kuidas seda defineerida kasutades ühikvektori summat.
Sa saad lihtsalt normaliseerida v
Sa saad defineerida ühekvektori summa siin.
Sa saad defineerida ektori summa siin
Ütleme et see on u ja ütlen ,et see on ühekvektor.
See on võrdne 1/1/vektori v pikkus korda v
Ma näitasin seda ühikvektori videos.
Sa saad konstrueerida ühikvektori mis läheb samma
suunda mis tahes vektoriga, lihtsalt jagades või
korrutades seda vektorit
ühega jagada selle pikkus.
Üldjuhul, me saame ka redefineerida selle joone.
Kõikvõimalikud skalaarkorrutised v-st on
sama, mis oleks kõik skalaarkorrutised meie ühilvektoril
u, mis on skalaarkorrutis v-st.
Me saame redefineerida oma joone.
Kui me redefineerime oma joone L võrdseks
kõikvõimalikue skalaarkorrutistefa meie ühisvektorist, kus
skalaarid on suvaliseld reaalarvud.
Meie projektsiooni definitsioon lihtsustub natukene.
Projektsioon x-ist L-il on nüüd x*meie ühikvektor
korda ühikvektor korda ühikvektor ise.
Sel juhul mis ma eelmises videos tegin, kus mul olid need
kaks vektorit.
Nagu ma ütlesin, see vektor v mis defineeris joone, ma arvan , et
see oli vektor 2,1
Meie vektor x oli 2,3
Kui sa tahad seda defineerida, me peame
muutma selle esimese asjana ühikvektoriks.
Viis, kuidas sa muudad teda ühikvektoriks, sa pead mõtlema
magnituudile.
Praegusel juhul v magnituud on võrdne millega?
2ruudus + 1 ruudus on 1
Sa võtad sellest ruutjuure.
Ma kirjutan selle uuesti.
See on võrdne ruutjuur 2 ruudus + 1, mis on
võrdne ruutjuur 5-ga.
Sa saad defineerida oma u, su ühikvektor võib olla lihtsalt 1
jagada see siin.
1 jagada ruutjuur 5 korda 2,1.
Sa saad selle välja arvutada või mitte
Sa võid selle jätta niimoodi.
Iga vektor v korral saad sa alati leida
ühikvektori, mis on samasuunaline, arvestades, et me
tegeleme nullist suuremate vektoritega.
Sa saad alati vähendada midagi nii, mingiks
teiseks definitsiooniks niimoodi.
Kus see on ühikvektor sellest
vektorist v siin.
Ma just ütlesin seda, et see on kujutis
Rn-ist Rn-i.
Ainus asi mis pole päris kindel on see, kas see on ikka
lineaarkujutis.
Me saame alati seda kijrutada nii.
Vaatame kas se on alati lineaar-
kujutis.
Meil on kaks tingimust et see oleks lineaarkujutis.
Vaatame mis juhtub kui ma võtan projektsiooni L-le
kahe vektoriga.
Ütleme, et vektorid a+v
Ma võtan neist vektoritest summa.
Kui see on lineaarkujutis, siis see peaks olema
samaväärne kui võtta neisst eraldi projektsioonid
ja siis liita need.
Vaatame seda juhtu.
See on võrdne, definitsioni põhjal, me kasutame
ühikvektori versiooni, sest see on lihtsam.
See on võrdne a+b , see on meie x*u
Ja siis kõik see korda meie ühikvektor.
Me teame, et selle korrutise tulemusel on distributiivsuse omadus,
seega see on võrdne au+bu
Need on ühikvektorid.
Ja kõik see korrutada vektor u-ga.
Need on skalaarnumbrid.
Seega skalaarkorrutisel on distributiivsed omadused.
See on võrdne a*u korda meie vektor u
See tuleb lihsalt mingi skalaararv.
Plus b*u * meie vektor u.
Millega see võrdub.
See siin on võrdne projektsiooniga a-st.
See on võrdne projektsiooniga a-st L-il
definitsiooni järgi.
Selle definitsiooni järgi
Kui me eeldame, et me tegeleme ühikvektorite definitsioonidega
sellele joonele.
See on võrdne kõige sellega siin, on võrdne
liita see projektsioon L-ile vektorist b.
Me näeme, et esimene tingimus, et see oleks lineaarkujutis
kehtib.
Projektsioon vektorite summaga on võrdne
vektorite projektsiooniga.
Meie teine tingimus on, et see projektsiooni skalaar-
korrutis peab olema võrdne projektsiooni
skalaarkorrutisega
Ma kirjutan selle siia.
Mis on projektsioon L-ile mingist vektori a
skalaarkorrutisest
See on võrdne ca* meie ühikvektor u
korda ühikvektor u
See on natukene selgem.
See on skalaarkorrutis.
Me näeme meie korrutise tulemuses, et see on võrdne c
korda a *u korda vektor u
See on võrdne c*see siin , see on
projektsioon L-il.
Mõlemad tingimused kehtivad, et see oleks lineaarkujutis.
Me teame, et meie projektsioon joonel L Rn-is on
lineaarkujutis.
See ütleb meile, et me saame esitada seda maatriksi
kujutisena.
Me teame, et see projektsioon x-ist L-il, me teame selle
definitsiooni, seda saab uuesti kirjutada,
See ei teeks liiga
Kui x*mingi ühikvektor mis defineerib meie joone.
Ma joonistan selle väikese mütsikesega, et näidata, et
see on ühikvektor.
Korda see ühikvektor iseendaga, siis saame
me vektori.
Kuidas seda kirjutada mingi maatriksi tulemusena.
Mingi maatriksi vektori tulemusena.
Ma tahan kirjutada seda kui mingi maatriksi korda
x tulemusena.
Et asja lihtsamaks teha, kuna me tegeleme
maatriksitega, siis tegeleme R2-s.
Ma eeldan, et mu projektsioon L-ile on
R2-st R2-e.
Sa saad seda teha
suvalises dimensioonis.
Kui me tegutseme R2-s, siis meie maatriks A siin
on 2*2 maatriks.
Me oleme korduvalt näinud, et maatriksi A leidmiseks peame me
võtma identse maatriksi, millel on standardsed
algsed vektorid tulpades.
0,1
või 1,0 ja siis 0,1
Ja me liidame kujutise iga
tulbaga
Me saame öelda, et A esimene
tulp on võrdne projektsiooniga L-ile
siin.
Ma teen selle siia.
Mis see tuleb.
See on see korda u
ma kirjutan meie u
Meie ühikvektor , eeldame, et u saab kirjutada
ühikvektorina võrdseks u1 ja u2 summana.
Nii
Ma pean võtma selle korda mu ühikvektor, ma
kirjutan selle siia.
Siia.
Esimese asjana tahan ma leida, mis on selle
projektsioon, projektsioon L-ile, ma kirjutan
selle nii
Me teame, et projektsioon on võrdne selle korrutisega korda
see vektor.
Ma kirjutan selle nii
See vektori 1,0 korda ühikvektor u
mis on u1,u2
Ja see korda minu ühikvektor.
Ma kirjutan selle nii.
Korda vektor u1,u2
See on minu esimene tulp minu
maatriksi kujutises.
Minu teine tulp on sama asi, kuid ma pole valmis
võtma sellest projektsiooni veel.
Projektsiooni definitsioon on, et sa korrutad selle
meie ühikvektoriga.
Seega teeme seda.
Võtame korrutise tulemuse 0,1-st.
0,1 korda mu ühikvektor korda u1,u2
Ma korrutan selle minu ühikvektoriga
korda u1,u2
See tundub väga keeruline, kuid see peaks lihtsamaks minema, kui me
püüame päris maatriksi kujutist teha.
Teeme selle.
Kui ma korrutan need kaks ,mille ma saan.
Ma kirjutan selle siia.
Mu maatriks A muutub 1u1 + 0u2.
See on lihtsalt u1.
Kõik see lihtsstub u1,le, kui ma võtan
korrutise tulemuse nendest kahest.
korda u1,u2.
See on minu esimene tulp.
Minu teine tulp , kui ma korrutan need kaks, saan ma 0*u1
+ 1*u2.
Seega ma saan u2* minu ühikvektor u1,u2.
Ma korrutan selle ära, millega see võrdub?
Ma kirjutan selle tulpadena
u1*u1 on u1 ruudus.
u1*u2 on u1,u2
u2u1 on u2u1.
Siis u2 korda u2 on u2 ruudus.
anna mulle suvaline ühikvektor ning ma annan sulle
kujutise, mis annab sulle iga projektsiooni
mingist vektorist joonel niiviisi defineerituna.
See oli pikk viis selle ütlemiseks.
Läheme selle juurde tagasi, mida ma tegin enne.
Ütleme, et ma tahan leida projektsiooni joonel,
vektoril, ma joonistan selle siia.
Me teeme sama näite, mida tegime eelmises videos.
Kui mul on mingi vektor v mis on selline.
Ütlesime, et vektor v on võrdne 2,1-ga,
See on mu vektor v
Kuidas leida kujutise summat projektsioonile
joonele, mille me defineerisime kasutades v-d?
Sellele joonele siin.
Joon mis on defineeritud v abil.
ME saame teisendada selle ühikvektoriks.
Me saame teisendada v ühikvektoriks, mis
on samasuunaline.
mingi ühikvektor u
Me tegime seda siin.
Kus me lihtsalt jagasime bv
selle pikkusega.
Võtame v ja jagame selle pikkuse.
Ühikvektor on see, 1 / ruutjuur 5
korda vektor v
See on 1 / ruutjuur 5 korda
meie vektor v siin.
Sa alustad selle ühikvektorigaa seal.
Koostad selle maatriksi ja siis me saame
oma maatriksi kujutise.
See on meie u, millega meie maatriks saab võrdne olema.
See on u
Siis meie maatriks saab võrdne olema u1 ruuduga.
Mis on u1 ruudus?
Ma kirjutan meie u uuesti.
Meie vektor u , meie ühikvektor mis defineerib joone on
võrdne 2/ruutjuur 5 ja
1/ ruutjuur 5
Ma korrutasin selle skalaari.
Kui me tahama koostada seda maatriksit, me saame A võrdseks
u1 ruuduga.
Mis on see ruudus ?
See on 2 ruudus 4 jagada ruutjuur 5 ruudus
Mis on lihtsalt 5
võrdne 4/5
Mis on u1 korda u2
2 korda 1 jagada ruutjuur 5 korda ruutjuur 5.
Seega 2/5
Ma korrutasin need kaks.
mis on u2*u1?
Sama asi.
Järjekord ei muuda midagi.
Seega on see 2/5
Mis on u2 ruudus
1 ruudus / ruutjuur 5 ruudus on 1/5
Nüüd saame öelda - ja see on lihtne asi koostades
neid maatrikseid, mille projektsioon- ütleme et see on
algne asi siin, meil on
mingi teine vektor x, siin.
Me saame defineerida kujutuse.
Projektsioon L-il, kus L on võrdne mingi skalaar-
korrutisega meie vektoriga u
See siin
See on reaalarv.
See on meie joon L
Projektsioon L-il mingist vektorist x on
võrdne selle maatriksiga.
On võrdne maatriksiga 4,5,2/5,2/5,1/5 korda x
mis on küllaltki lihtne tulemus vähemalt minule.
Me taaskord taandasime kõik maatriksi
korrutisele.
Sa saad võtta selle x ja korrutad selle maatriksiga
siis saad sa selle projektsiooni
joonele L
Kui sa võtad selle vektori, ütleme a ja sa korrutad selle
selle maatriksiga siin, siis saad sa
selle projektsiooni.
See on projektsioon joonel.
Kui sa võtad selle vektori - ei, see peaks
minema läbi alguse.
Ma tahan joonistada selle standardsesse asendisse.
Kui sa võtad selle vektori siin, ja korrutad selle
selle maatriksiga, siis saad sa selle vektori siin,
see kuulub joonele.
Kui sa lahutad selle vormi siin, siis on see ortogonaalne.
Me teame seda definitsiooni.
See on justkui vari sellel vektoril
Igatahes minu arust on see küllaltki lihtne.