Tip:
Highlight text to annotate it
X
Alus
Mida ma tahan selles videos teha --- ja see
võib ette tulla mitmetes videodes -- on ülevaadata kõik
mida me teame maatriksitest ja null ruumides ja veeru
ruumides ja lineaarsest iseseisvusest.
Mul on üks maatriks siin, maatiks a
ja ma arvan, et see on hea koht kust alustada, mõtleme välja selle
veeru ruumi ja selle null ruumi.
Veeru ruumi on tegelikult ülilihtne välja mõelda.
See on veeruvektorite A ulatus.
Me saame kohe kirjutada, et meie maatriks A
veeru ruum -- las ma teen selle siia.
Ma saan kirjutada maatriks A veeruruum on võrdne
vektorite 1,2,3 ulatusega.
1,1,
4.
1,4,1.
ja 1,3,2.
Ma olen valmis.
See oli päris otsekohene ja kõvasti lihtsam
kui leida null kohti.
See võib ja samas ka ei pruugi sind rahuldada.
On palju lahtisi küsimusi.
Kas see on ruumi alus näiteks?
Kas see on lineaarselt iseseisvate vektorite komplekt?
Kuidas me võiksime seda ruumi kujutada?
Ma ei ole nendele küsimustele veel vastanud.
Aga kui keegi ütles, et hei, mis on A veeruruum?
See on A veeruruum.
Ja siis me saaksime vasta nendele teistele
küsimustele.
Kui see on lineaarselt iseseisvate vektorite komplekt,
siis need vektorid oleksid alus
A veeruruumile.
Me ei tea seda veel.
Ja me ei tea, kas need on lineaarselt iseseisvad.
Aga me saame välja mõelda, kas *** on lineaarselt iseseisvad
vaadates A nullruumi.
Jäta meelde, et need on lineraaselt iseseisvad kui null ruum
A-st sisaldab ainult 0 vektorit.
Nuputame välja mis A nullruum on.
Pea meeles, ma saame teha väikse otsetee.
A null ruum on võrdne rea null ruumiga,
A vähendatud rea iseseiva kujuga.
Ja ma näitasin, et kui me esmalt arvutasime
vektorite nullruumi, sest kui sa tegid neid
kui sa tahtsid lahendada A nullruumi suhtes,
ja teed kasvatatud maatriksi.
Ja pane selle maatriksi vähendatud rea iseseisvasse
kujusse, aga nullid ei muutu kunagi.
Sisuliselt võtad sa A ja paned selle
vähendatud rea iseseisvale kujule.
TEeme seda.
Ma jätan ühe rea samaks, 1,1,1,1.
Ja siis ma asendan teise rea,
teine rida miinus esimene
rida.
Mille ma saan?
EI, tegelikult, ma tahan selle välja jätta.
Seega 2 rida miinus, 2 korda rida üks
Aga tegelikult veel parem, sest lõppude lõpuks
ma tahan saada ühe siia.
Seega, las ma teen 2 korda rida üks, miinus rida kaks.
Las ma ütlen 2 korda rida üks, ja ma
lahutan teise rea.
Seega 2 korda 1 miinus 2 on null, mis on täpselt
see mida ma tahtsin sinna.
2 korda 1 miinus 1 on 1.
On tore,et see seal on.
2 korda 1 miinuss 4 on miinus 2.
2 korda 1 miinus 3 on 1
okei, vaatame kas me saame selle kuti siit välja jätta.
MIda ma saan
teha?
Ma võiksin teha ükskõik mingi kombineeringu, ükskõik, mis lõpuks
jätaks selle asja siin välja.
Aga ma tahan minimaliseerida oma negatiivsete arvude numbrit.
Seeda ma võtan kõigepealt kolmanda rea, miinus 3 korda see esimen rida.
Ma võtan miinus 3 korda see esimene rida ja lisan
sellele kolmandale reale.
3 miinus 3 korda 1 on
0.
Seal saab lihtsalt olema hunnik 3-sid.
4 miinus 3 korda 1 on 1.
1 miinus 3 korda 1 on miinus 2.
Ja 2 miinus 3 korda 1 on miinus 1.
Nüüd, kui me tahame seda saada vähendatud rea iseseisvale kujule
me peame üles märkima, et üks seal ja see üks seal.
Mida me saame teha?
Jätame keskmise rea samaks.
Minu keskmine rida ei muutu.
1, 1, miinus 2, miinus 1.
Ja et saada sellest siin üleval, ma saan lihtsalt asendada enda
esimese rea, sellega: esimene rida miinus teine rida.
Sest siis see ei muutu.
Mul on 1 miinus 0 on 1.
1 miinus 1 on 0.
See on see, mida me tahtsime.
1 miiinus 2 on 3.
See on 1 plus 2.
1 miinus miinus 1.
see on 1 pluss 1.
see on 2.
Enam vähem?
Las ma teen nüüd kolmanda
rea.
Ma asendan enda kolmanda rea: kolmas rida miinus
minu esimene rida.
Need on ilmselgelt samad asjad.
Kui ma lahutan kolmanda rea teisest reast, ma lihtsalt
saan hunniku nulle.
0 miinus 0 on 0.
1 miinus 1 on 0.
miinus 2 miinus miinus 2 on 0.
ja miinus 1 miinus miinus 1.
See on miinus 1 pluss 1.
See on võrdne nulliga.
Ja just selliselt on meil see praegu
vähendatud rea iseseisval kujul.
Ja see siin on A vähendatud rea iseseisevkuju.
Nii ongi.
Põhiline põhjus, mis me tahame seda harjutust
läbi vaadata, on tahtmine välja mõelda
A nullruum.
Ja kui me juba teame, et A nullruum on võrdne
nullruumiga A vähendatud rea iseseisva kujuga.
See kui see on A vähendatud rea iseseisva kuju vorm,
nuputame välja selle nullruumi.
Seega nullruum on kõikide r4 vektorite komplekt,
sest meil on 4 veergu siin.
1,2,3,4.
Nullruum on kõigide vektorite komplekt, mis rahuldab
seda võrrandit, kus me
saame kolm nulli siia.
See on 0 vektor R3-s, sest meil on kolm rida
siin ja sa suudad selle välja nuputada.
See korda see peab võrduma 0-ga.
See täpiline koos tollega võrdub
lõpuks nulliga.
See täpiline koos tollega on tolle 0-ga.
Ma ütlen lõpuks, sest ma ei defineerinud rea vektor punkti
veeru vektorina.
Ma olen ainult defineerinud veeru vektorid, mis on punkteeritud
teiste veeru vektoritega.
Aga kui me oleme seda vaadanud eelmises videos, kus sa saad
öelda, et see on veeru vektori ümberasetamine.
Seega võtame lihtsalt selle ja kirjutame
võrrandite süsteemi sellega.
Me saame 1 korda x1.
Seega see kord see on võrdne võrdne tolle 0-ga.
Seega üks korda x1, see on x1.
pluss 0 korda x2.
Ma kirjutan selle välja.
Pluss 3 korda x3.
Pluss 2 korda x4 on võrdne tolle 0-ga.
JA siis -- ma teen seda kollasele joonele siin ---
mul on 0 korda x1.
pluss 1 korda x2.
Miinus 2 korda x3.
Miinus x4 on võrdne 0-ga.
Ja siis see ei anna mulle mitte mingisugust informatsiooni.
0 korda kõik see võrdub 0-ga.
Seega see muutub lihtsalt 0 võrdub 0-ks.
Aga vaatame, kas me saame lahendada keskpunkti sissekannete suhtes või meie
keskpunkti muutujate suhtes.
Mis on meie keskpunkti muutujad?
See on meie keskpunkti kirje.
See on keskpunkti kirje.
Ja see on see, mida vähendatud rea iseseisev kui tähendab,
saad need sissekanded, mis on 1 ja nende ainuke
mitte-null tingimuse nende vastavasse veergu.
Ja see keskpunkti sissekanne on paremale
ülemisest keskpunkti sissekandest.
Ja siis veerud, kus meil pole keskpunkti sisekandeid?
Need veerud esindavad vabu muutujaid.
Ja sellel veerul pole keskpunkti sissekandeid.
Ja kui sa võtad punkti tooe, siis see veerg
muutub selleks veeruks meie võrrandite süsteemis.
Ja me teame, et x3 on vaba muutuja.
x3 on vaba.
Me saame panna selle ükskõik millega võrduma.
x4 on ka vabamuutuja.
x1 ja x2 on keskpunkti muutujad, sest nende analoogne
veerg meie vähendatud rea iseseiva kujus on
kekspunkti sissekanded.
Enam-vähem.
Vaatame, kas saame selle viia lihtsamale kujule,
mida me teame.
Ja me oleme seda varem näinud.
Kui ma lahendan x1 suhtes --- seda 0 ma saan eirata.
Seda 0 ma saan ignoreerida -- ma võiksin öelda, et x1 on võrdne miinus
3x3 miinus 2x4.
Ja just lahutasin need kaks võrrandi mõlemast poolest
ja ma saan öelda, et x2 on võrdne 2x3 pluss x4.
Ja kui me tahame kirjutama meie lahenduse, seega kui ma
tahan leida A nullruumi, mis on sama asi
kui A vähendatud rea iseseisva kuju nullruum,
on võrdne kõigi vektoritega -- las ma võtan uue värvi.
Võib-olla teen sinisega -- on võrdne kõigi vektoritega x1, x2,
x3, x4 mis on võrdsed ---
Millega *** siis võrdsed on?
x1 peab olema võrdne miinus 3x3 miinus 2x4-ga.
Et segane poleks, need on vabad muutujad, sest ma saan
panna need olema ükskõik milleks.
Ja need on keskpunkti muutujad, sest ma ei saa lihtsalt panna neid
päris ükskõik milleks.
Kui ma teen kindlaks, mis minu x3-d ja mu x4-d on, ***
teevad kindlaks, mis mu x1-d ja x2-d peavad olema.
Need on keskpunkti muutujad.
Need on vabad muutujad.
Ma saan teha selle kuti pi-ks.
Ja ma saan teha selle kuti miinus 2-ks.
Ja saan neid määrata kõigeks.
Seega x1 on võrdne --- vaatame, las ma kirjutan selle nii moodi--
on võrdsed x3ga ---- teen selle teise värviga
teen x3 selliselt.
Seega see on võrdne x3 korda mingi vektorit pluss x4 korda mingid
teine vektor.
Seega, iga lahendus, määratud nullruumis, saab olema
nende kahe vektori lineaarne kombinatsioon
Ma saan välja nuputuada, mis need kaks vektorit on, lihtsalt
nendest piirangutest siin.
Seega --- teen selle neutraalse värviga -- x1 on võrdne
miinus 3 korda x3 miinus 2 korda x4-ga.
Piisavalt otsekohene.
x2 on võrdne 2 korda x3 pluss x4-ga.
Millega x3 on võrdne?
X3 on võrdne iseendaga.
Ükskõik, millega me x3. võrduma pane, vastus on ikka x3.
Seega on x3 saab olema 1 korda x3 pluss 0 korda x4.
Sellel ei saa olema ühtegi x4 sees.
x3 saab olema mingisugune iseseisev muutuja.
See saab vabaks.
Me saame selle määrata ükskõik milleks.
Me määrame selle ja siis see saab olema x3
meie lahenduskäigus.
x4 sees ei saa olema ühtegi x3.
See saab lihtsalt olema 1 korda x4.
Ja seega, meie null ruum on sisuliselt kõik nende kahe vektori
lineaarsed kombinatsioonid.
See võib olla ükskõik mis reaalarv.
See on üks kõik mis reaalarv ja x4 on lihtsalt
reaalse ruumi liige.
Seega kõik need, Ax-i kõik kehtivad lahenduste komplekt
on võrdne 0-a --- kuhu ma selle kirjutasin.
kas ma kirjutasin selle üldse?
Ei, ma ei ole seda kuskile kirjutanud.
Kõik Ax-d on võrdsed 0-ga, kus see on minu x,
see võrde kõikide selle ja tolle
vektori lineaarsete kombinatsiooniga
Ja me teame, mis mida kõik lineaarse kombinatsioonid tähendavad?
See tähenda, et mu nullruum on võrdne nende kahe kuti
ulatusega, miinus 3,2,1,0 ulatusega.
Ja miinus 2,1,0,1.
Luba ma küsin sult
küsimuse.
Kas need veerud A-s, kas *** on lineaarselt sõltumatud.
Kas *** on lineaarselt sõltumatud komplekt?
Kui me kirjutame need vektorid siia, need on
A veeru vektorid.
Ma kirjutan selle üles.
Need on A veeru vektorid --- mis need õigupooles on?
Vaatame.
1,3,2
Ei, see on 1,2,
3.
1,1,4.
1,4,1.
Ja 1,3,2.
Seega see on lihtsalt A veeru vektorid.
Ja võiksin lihtsalt kirjutada, et A on lihtsalt hunnik veerge, aga mu
küsimus on, on see lineaarselt sõltumatute
komplekt?
Ja siis sa hakkad kohe mõtlema, kui me
ütlesime, et midagi on lineaarselt sõltumatu ---
lineaarne sõltumatus tähendab, et seal on ainukt üks lahendus
me nägime vist kaks videot tagasi, et seal on
ainult üks lahendus --- Ax-i üks lahendus on võrdne 0-ga.
Ja see 0 lahendus, et x on
võrdne 0 vektoriga.
Või teine viis seda öelda on, et minu maatiks A
null ruum on võrdne 0 vektoriga.
See on see, millele lineaarne sõltumatus kehtib.
Ja see läheb mõlemale poole.
Kui mu null ruum on lihtsalt 0 vektor ja siis ma tean,
et see on lineaarselt sõltumatu.
Kui mu nullruum sisaldab teisi vektoreid, siis ma ei ole
lineraaselt sõltumatu.
Nüüd mu A nullruum, mida see sisaldab?
Kas lihtsalt 0 vektorit?
Nii, see ei sisalda igat nende kahe kuti
lineraarset kombinatsiooni.
See sisaldab tegelikult lõpmata arv vektoreid,
mitte ainult ühte lahendust.
Ilmselglet on ka 0 vektor siin, kui sa lihtsalt
tahad neid kahte korrutada --- kui sa valid 0 selle ja selle jaoks.
Selles sisalduvad, aga sa võid saada terve hunniku vektoreid.
Sest A null ruum,
ei sisalda ainult 0 vektorit.
See sellel on rohkem kui .
ainult 0
Mida see tähendab?
See tähendab seda, et seal on rohkem
kui üks lahendus selle jaoks.
Ja see tähendab seda, et see on lineaarselt sõltuv
komplekt.
Ja mida see tähendab?
Video alguses ma ütlesin, mis
on A veeruruum.
Ja me ütlesime, et A veeruruum on lihtsalt
veeru vektorite ulatus.
Ma kirjutasin sellel sellisena välja.
Ja ma ütlesin, et see pole päris kindel, kas see on kehtiv
alus A veeru ruumi jaoks.
Mis on alus.
Alus on komplekt vektoreid, mille ulatuvad alamruumi ja ***
on ka lineaarselt sõltumatud.
Ja me just näitasime, et need kutid ei ole lineeraselt
iseseisvad.
See tähendab seda, et *** pole alus A
veeruruumile.
*** ulatavad A veeru ruumi, definitsiooni järgi tegelikult.
Aga *** pole alus.
*** peavad olema lineaarselt iseseisvad
et olla nende alus.
Seega vaatame, kas meil õnnestub välja mõelda, mis selle
veeru ruumi alus oleks.
Ja et seda teha, me peame lihtsalt lahti saama
mõnedest liigsetest vektoritest.
Kui ma saan näidata, kuidas seda kutti uuesti esitada
kasutades nende kahe kombinatsiooni, siis ma saan
lahti sellest vennast.
Ta ei anna mingit uut informatsiooni.
Sama selle kutiga.
Kes teab?
Vaatame, kas me suudame selle jupi puslest välja mõelda.
Igatahes, me teame juba, et x1, kirjutasin selle teistviisi, et
x1 korda ---- võib-olla ma jätan selle lihtsalt õhkurippuma
ja jätkan seda teises videos
Aga me teame, et x1 korda 1,2,3-
*** x2 korda 1,1,4.
Pluss x3 korda 1,4,1-
Pluss x4 korda 1,3,2.
Me teame, et see on võrdne 0-ga.
Nüüd, kui me oleme võimelisel lähendama x4 suhtes, silmaspidades ---
ma mõtlesin, kas ma saan lahendada vekotrite suhtes, mis on
seotud minu vabade muutujatega
kasutades teisi vektoreid.
Luba ma vaatan, kas ma saan teha seda.
Ja sa näed, et see on suhteliselt otsekohene.
Nii, ütleme, et tahan lahendada x4 suhtes.
Seega, kui ma lahutan selle võrrandi mõlemast poole
saan ma mille?
Panen selle teistmoodi, ma panen x3 võrduma 0-ga.
See oli vaba muutua.
Ma saan teha seda.
Seega, kui ma panen x3 võrduma nulliga, siis mis ma saan siia?
Kui ma ütleisn, et x3 võrdub 0-ga, siis kutt kaob.
Ja kui ma lahutan selle võrrandi mõlemast poolest, ma
saan x1 korda 1,2,3.
pluss x2 kord 1,1,4.
On võrdne -- ma lihtsalt panen x3 võrduma 0-ga.
See oli vaba muutuja.
Ma panen x3 võrduma 0-ga.
Kogu see asi kaob.
See on võrdne miinus x4 korda 1,3,2-ga.
Nüüd ma panen x3 võrduma 0-ga.
Las ma panen x4 võrduma miinus1-ga.
Kui x4 on võrdne miinus 1, mis on miinus x4?
See on lihtsalt võrdne 1-ga.
Ja mul on x1 korda 1,2,3-
pluss x2, korda 1,1,4 on võrnde selle neljanda
vektoriga siin.
Ja kas ma suudan kogu aeg selleseid asju leida?
Ma olen suht kindel, et suudan leida omapäraseid.
Kui x3 on võrdne 0-ga ja x4 on miinus 1 -- ma kopin
ja asetan selle siia üles ---
rullin alla natuke.
See on see mille me saime, kui me mõltesime välja nullruumi,
siin.
Seega kui ma panen võrdua --- pea meeles, et need on vabad muutjuad
kui ma panen x3 võrduma nullida ja x4 võrduma
miinus 1, mis on x1?
Siis see kaasab, et x1 on võrdne miinus 3 korda x3,
see on lihtsalt 0, miinus 2 korda x4.
Kui x4 on miinus 1, miinus 2 korda miinus 1,
x1 on võrdne 2-ga.
Ja siis millega siis x2 võrdne on?
x2 on võrdne 2 korda x3, mis on 0, pluss x4.
See on võrdne miinus 1-ga.
Ma just näitasin sulle, kui ma panen selle võrduma 2-ga ja selle
võrduma miinus 1-ga, mul lineaarne kombinatsioon
sellest ja sellest vektorist, mis võivad kokku liituda
selle neljanda vekotriga.
Ja sa saad selle kindlaks teha.
2 korda1 miinus 1 on võrdne 1-ga.
2 korda 2 miinus 1 on võrdne 3-ga.
2 korda 3 on võrdne 6, miinus 4 on võrdne kahega.
Seega see on õige.
Ma näitasin sulle, et kasutades meie definitsioone
vaadates, mis olid meie vabad muutjuad
vs. meie keskpunkti muutujad.
Ja me olime võimelised sulle näitama, et väga lihtne on lahendada
kolmanda suhtes, see neljas vektor, silmaspidades
neid esimest kahte.
Seega me teame, et kui me lähme tagasi komplekti juurde, mis on neljas
vektor on väga ebavajalik, tegelikult mitte midagi lisades
nende vektorite ulatusele.
Aga selle kuti võib kirjutada kui combinatsioon
sellest ja sellest kutist.
Ja nüüd, vaatame, kas see kutt, kolmas, kas me saame teha
sama harjutuse.
See on ka ettekirjutatud vabade muutujate poolt.
Seega vaatame, kas ma saan kirutada selle kui
kombinatsioon esimesest kahest.
Teeme täpselt sama asja.
Selle asemel, et panna võrdua x3 nulliga ja x4 miinus 1-ga,
paneme x4 võrduma 0-ga, sest ma tahan
seda välja taandada.
Ja ma panen x3 võrduma miinus 1-ga.
Kui x3 on võrdne miinus 1-ga, kuhu väheneb
see võrrand?
Me saame x1 korda 1,2,3.
pluss x2 korda 1,1,4.
On võrdne --- kui see on miinus 1 korda 1,4,1.
Ja siis me saame lisada selle võrrandi mõlemale poole, me saame
pluss 1 korda 1,4,1.
Ja korra veel, me saame lahendada meie x1 ja x2 suhtes.
Kui x4 on 0 ja x3 on miinus 1, siis x1 x4 on 0.
Seega x3 on miinus 3, korda x3, seega x1 oleks
võrdne 3-ga, eks?
Miinus 3 korda miinus 1.
Ja millega x2 oleks võrdne?
x4 on 0, me saame seda ignoreerida.
x2 oleks võrdne miinus 2-ga.
Seega see oleks 3 ja see oleks miinus 2.
Vaatame, kas see töötab.
3 korda 1miinus 2 on 1.
3 korda 2 miinus 2 on 4.
3 korda 3 miinus 8 on 1.
Töötab!
Ma saan kirjuta selle vektori, mis oli seotud
vaba muutujaga, kui
nende kahe lineaarne kombinatsioon.
Me võime tast enda lahti saada.
Nüüd ma olen näidanud, et selle kuti võib kirjutada kui
nende kahe lineaarne kombinatsioon.
Selle kuti võib kirjutada kui
nende kahe lineaarne kombinatsioon.
Nende kahe kuti ulatus peaks olema võrdne
---- ma kirjutan selle
teistmoodi.
A veeruruum, ma saan nüüd uuesti kirjutada.
Enne oli see kõigide teiste vektorite ulatus.
See oli teiste veeruvektorite ulatus,
v1,v2,v3 ja v4.
Nüüd ma olen näidanud, et v3 ja v4 võib uuesti kirjutada
silmaspidades v1- ja v2-te
*** on üleliigsed.
See on võrdne v1 ja v2 ulatusega, mis on lihtsalt
need kaks vektorit.
vektor 1,2,3 ja vektor 1,1,4
On mõni neist vendadest üleliigne?
Kas ma võin ühte neid väljendada kui
teise lineaarset kombinatsiooni?
Sisuliselt, kui ma räägin ainult ühe teise vektori
lineaarsest kombinatsioonis, see on lihtsalt
skalaarkorrutis.
Mõtleme sellest.
On mitmeid viise, kuidas sa saaksid seda näidata, aga lihtsaim
on, vaata, ei minna sellest sissekandest tolle teise sissekandeni,
ma lihtsalt korrutan 1-ga.
Aga kui ma korrutan tervet vektorit 1-ga, siis ma
saan 2 siia ja saan 3 siia.
Seega see ei
töötaks.
Kui ma tahan seda kutti esitada selle
tüübi skalaarkorrutisena , seega iga 1,2,3-e skalaarkorrutis on
võrdne 1c,2c,3c-ga.
Eks?
Ja seega me ütleme, see kutt siin peab olema kirjeldatud
selliselt, kui me ütleme, et see kutt on mingimoodi skalaar,
mingi moodi esitatud selle kutina.
Seega see peaks olema võrdne 1,1,4-
Kui sa vaatad seda ülemist sisse kannet, see tähendab, et c
peaks olema võrdne 1-ga.
Aga kui sa vaatad seda teist sissekannet, siis sa arvad, et c
peaks olema võrdne 1/2-ga.
Seega sa saad vasutolu.
Siin, c peaks olema võrdne 4/3.
Seega seal pole c, kui see töötaks.
Seal pole c korrutist.
Ja sa võid sellega mitut moodi töötada.
Seal pole ühtegi viisi, kui sa saaksid esindada ühte nendest kuttidest kui
teise lineaarset kombinatsiooni.
Ja kui sa saad seda tõesta teisel viisil ,võib-olla rohkem
formaalselt, et see on lineaarselt sõltumatu.
Aga antud, et see on lineaarselt iseseis ----
ma arvan, et sa oled sellega rahul ---- me võime siis öelda, et
vektorite komplekt 1,2,3 ja 1,1,3, see on alus
A veeru ulatusele.
Ja nüüd ma lasen su siit minema, sest ma arvan
ma olen korralikult üle aja läinud.
Aga mida ma kavatsen järgmises paaris videos teha, nüüd
kui ma olen saavutanud, et see on alus A veeru
ulatusele, me võime üritada visualiseerida seda.
Sest me võime öelda, et A veeru ulat on võrdne
nende kahe vektori ulatusega.
Aga ma võime mõelda, mis
nende kahe vektori ulatus on.
Me kavatseme vaadata, et see on tasand R3-s.
1,1,4 ulatus.
Ja see on kiire meeldetuletus, mida ma olen paar korda öelnud.
Kui ma ütlesin, et see on alus, siis mida mõtlen, on see, et need kutid,
*** on mõlemad A veeru ruumi ulatus.
Kui meil oli neli vektorit, siis *** samuti ulatusid
A veeruruumi.
Aga mis neid aluseks teeb, on see, et need kutid on lineaarselt
sõltumatud.
Seal pole ekstra informatsioon või liigseid vektoreid, mida saaks
esindada teisted vektorid nende aluse piires.
*** on lineaarselt sõltumatud.
Igatahes, lasen sul nüüd minna.