Tip:
Highlight text to annotate it
X
Me oleme nüüd valmis lahendama mittehomogeensesid teisejärgulisi
lineaarseid differentsiaalvõrrandeid, milles on konstantsete koefitsientidega.
Nii et mida see kõik tähendab?
Noh, see tähendab võrrandit, mis näeb välja selline.
A korda teine tuletis pluss b korda korda esimene
tuletis pluss c korda funktsioon võrdub g x-st.
Enne, kui ma näitan teile tõelist näidet, tahan ma teile näidata
midagi huvitavat.
Et tavalise mittehomogeense võrrandi lahendus
on tegelikult üldine homogeensete
võrrandite lahendus, millele lisandub konkreetne lahendus.
Ma selgitada hiljem, mida see tähendab.
Nii, oletame, et see h on homogeense
võrrandi lahendus.
Ja see sobib hästi, sest h nagu homogeenne.
h on homogeensete võrrandite lahendus..
Homogeensete võrrandite jaoks peaks leiduma mõned kiirkirja märgid.
Nii et mida see tähendab?
See tähendab, et A korda h teine tuletis pluss B
korda h pluss c korda h on võrdne nulliga.
See, mida ma tahan öelda, kui ma ütlen, et h on lahendus-- ja
tegelikult, ütleme lihtsalt, et h tüüpiline lahendus
sellele homogeensele võrrandile.
Ja me teame, kuidas seda lahendada.
Võtta karakteristlik võrrand, sõltuvalt kui palju
juuri sellel on, ükskõik, kas need on reaalarvud või kompleksarvud.
Nii saate leida tüüplaheduse.
Ja siis kui teil on algsed tingimused, saab neid asendada
ja teada saada konstantide väärtused.
See on piisav.
Ütleme, et ma oletasin, et g on lahendus.
Ei, ma juba kasutasin g-d siin.
Ja mulle ei meeldi kasutada täishäälikuid.
Oletame, et j.
Oletame, et j on selle differentsiaalvõrradi
konkreetne lahendus.
Nii et mida see tähendab?
See tähendab, et A korda j pluss B korda j
pluss C korda j on võrdne g x-st.
Õigus?
Me just defineerisime j x-st , et see on konkreetne lahendus.
See, mida ma teile näidata tahan, on see, et j x-st pluss h x-st on
ka selle originaalvõrrandi lahendus.
Ja see on üldine lahendus, selle
mittehomogeense võrrandi jaoks
Ja enne, kui ma teen seda lihtsalt
matemaatiliselt, mida te märkasite
Noh, kui te asendate h siin, siis te saate 0-i.
Kui siin asendada j, siis saate g x-st.
Ning kui te need kokku panete, siis te saate
0 pluss g x-st siin.
Siin saate te g x-st.
Ja ma näitan teile seda nüüd.
Oletame, et ma tahtsin asendada h pluss j-i siin.
Ja ma teen seda teise värviga.
A--Niiet nonde funktsioonide summa teine tuletis
on teiseks tuletiseks
kui need kokku liita--pluss B korda esimene tuletis
summast pluss C korda funktsioonide summa.
Ja minu eesmärk on näidata, et see on võrdne g x-st.
Nii et mis on see lihtsustatult?
No, kui me võtame kõik h terminid, saame me Ah
pluss Bh pluss Ch plus, teeme kõik j-i terminid . Aj
pluss Bj pluss Cj.
Definitsioon selle järgi, kuidas me defineerisimeh ja j-i, millega
see võrdub?
Me ütlesime, et h on selle homogeense võrrandi lahendus,
või et see väljend on võrdne 0-ga.
Nii et see on võrdne 0-ga.
Ja millega võrdub j meie definitsiooni järgi?
Me ütlesime, et j on konkreetne lahendus sellele
mittehomogeensele võrrandile, või et see väljend on
võrdne g x-st.
Nii et kui asendada h pluss j selle differentsiaalvõrrandiga
vasakul pool.
Paremal küljel, tõsi küll, saate te g x-st.
Me just näitasime, et kui defineerida h ja j niimoodi,
et see funktsioon, me kutsume seda k x-st on võrdne h x-st
pluss j x-st.
Mul hakkab ruum otsa saama.
See on üldine lahendus.
Ma ei ole veel tõestanud, et see on kõige tavalisem lahendus, kuid ma
arvan, et teil on mõned tähelepanekud, õigus?
Kuna tavaline homogeense võrrandi lahendus
oli kõige üldisem lahendus, j anüüd me lisame
konkreetse lahenduse, mis annab meile g x-st
paremal küljel.
See võib olla väga segane, proovime lihtsalt
teha seda mõne reaalarvuga.
Ja ma arvan, et see selgitab asja rohkem.
Oletame, et meil on differentsiaalvõrrandid-- ja
Ma õpetan teile tehnikat leidmaks
seda j-i viimasest näitest.
Niisiis, kuidas te leidsite selle konkreetse lahenduse?
Oletame, et mul on differentsiaal võrrandi
teine tuletis y-st miinus 3 korda esimene tuletis
miinus 4 korda y on võrdne 3e 2 x-st.
Niisiis, esimene samm on homogeense võrrandi
lahenduse leidmine.
Ja selles näites, mis ma just tegin, selles
Oleks h -x-st.
Me tahtsime y-i tuletist miinus 3y
miinus 4y on võrdne nulliga.
Võtke selle tüüpvõrrand
See 4 on võrdne nulliga.
r miinus 4 korda r pluss 1 on võrdne nulliga.
2 juured, r võib olla 4 või negatiivne 1.
Ja nii meie üldine lahendus--ma kutsun seda h-ks.
Noh, proovime seda y-it kuidagi tavaliselt kutsuda.
y sub g.
Meie tavaine lahendus on võrdne-- ja me tegime
seda mitu korda-- C1 e kuni 4x pluss C2 e kuni miinus
1 x või miinus x.
Sellest piisab.
Me lahenasime just homogeense võrrandi.
Niisiis, kuidas me saame, viimases näites, a j x-st mis
annab meile konkreetse lahenduse, nii et
paremal pool saame me selle.
Siin me tahame lihtsalt veidi mõelda.
Ja seda meetodit kutsutakse määramata
koefitsientide meetodiks.
Peaks mainima, kui ma tahan mingit funktsiooni, kus ma
võtan teise tuletise, ja lisan selle või lahutan mõned
korrad esimese tuletisemiinus mõned
funktsioonid, saan ma e 2x-st.
See funktsioon, ja selle tuletised, ja selle teine tuletis
peab olema mingi vorm, midagi
korda e 2x-st.
Nii et sisuliselt me pakume.
Huvitav, milline see välja näeks, kui me võtaks erineva
tuletise ja funktsioonid ja me paljundaks seda paljundust
sellest pluss igavõrrand?
Ja kõik see.
Saaksime e on 2 x või mõned e-2 x kordseni.
Ma arvan, et hea pakkumine oleks, et lihtsalt j-- no ma kutsun seda
y-t eriliselt.
Meie konkreetne lahendus siin oleks see-- ja konkretne
lahendus, mis on veidi erinev sellest, mida ma kasutasin
kui meil oli tegemist algsete tingimustega.
Siin me näeme seda konkreetse lahendusena.
Lahendus, mis annab meile selle, mis on paremal.
Ütleme, et see, mille me valime, on mingi konstant A korda
e 2 x-st.
Kui see on minu pakkumine, siis selle tuletis on võrdne
2Ae on 2 x.
Ja selle teine tuletis, minu konkreetsed
lahenduses on võrdne 4Ae 2x-st.
Ja nüüd saan ma siin asendada ja vaatame, kas ma saan
selle lahendada A suhtes ja siis on mul mu konkreetne lahendus.
Niisiis teine tuleti, see on see.
Nii et ma saan 4Ae 2x-st miinus 3 korda esimene tuletis.
Seega miinus 3 korda see.
See on siis miinus 6Ae 2x-st miinus 4 korda funktsioon
Seega miinus4Ae 2x-st ja see kõik on
võrdne 3e 2x-st.
No me teame, et e 2x-st on võrdne 0-ga, seega saame me jagada
Mõlemad pooled sellega.
Lihtsalt lahutame selle teguriteks.
Saame kõikidest nendest e 2x-st lahti.
Vasakul küljel, on meil 4a ja a miinus 4A.
Need taandusid välja.
Ning me saame miinus 6A on võrdne 3-ga.
Jagades mõlemad pooled 6-ga saame, et A= -0,5.
Valmis.
Meil on meie konkreetne lahendus.
See on võrdne 1/2e 2x-st.
Ja nüüd, nagu ma teile juba enne näitasin, enne, kui ma selle
ekraani puhastasin, on meie tavaline lahendus sellele mittehomogeensele võrrandile
meie konkreetne lahendus pluss
tavaline homogeense võrrandi lahendus.
Me saame seda võtta kui kõige tüüpilisemat
lahendust-- ma ei tea.
ma lihtsalt kustusn seda y-iks.
See on meie tüüplahendus C1e 4x-st pluss C2e
miinus x pluss meie konkreetne lahendus, mille me leidsime.
See on siis miinus 0,5e 2x-st.
Päris selge.
Igatahes, ma teen mõned näited veel.
Ja ma arvan , et siis hakate te aru saama.
Järgnevates näidetes teeme me midagi muud kui e
2x-st või e funktsioone siin.
Me proovime seda teha polünoomidega ja ka matemaatiliste
funktsioonidega.
Vaatame seda järgmises videos.