Tip:
Highlight text to annotate it
X
_
Selles videos uurime me elektrivälja, mille
tekitab lõpmatu ühtlaselt laetud plaat.
Miks me seda teeme?
Esiteks, sellepärast et me saame teada, et elektriväli on
ühtlane, mis on lahe ja üsna
tähtis asi millest aru saada hiljem kui me räägime
paralleelsetest laetud plaatidest ja kondensaatoritest, sest meie
füüsika õpik ütleb, et väli on ühtlane, aga
*** ei tõesta seda.
Nüüd me tõestame seda siin ning selle põhjaks on vaja
aru saada milline laeng on lõpmatul
laetud plaadil.
Vaatame lõpmatut laetud plaati küljelt
ja üritame leida seoseid.
Ütleme, et see on plaat küljevaates -- ja ütleme, et
sellel plaadil on laengutihedus sigma.
Mis on laengutihedus?
See on lihtsalt kuloneid pindalaühiku kohta.
Laengutihedus on võrdne laenguga jagatud pindalaga.
See sigma ongi.
Me ütleme, et sellel on ühtlane laengutihedus
Enne kui me pöördume raske matemaatika poole,
kui sa vaatad seda diferentsiaalarvutuste esitusloendis, siis
sa võiksid korrata natuke elektrostaatikat
füüsika esitusloendist, see peaks sulle
suhteliselt kerge olema.
Kui sa vaatad seda füüsika esitusloendist ja sa
pole vaadanud veel diferentsiaalarvutuste esitusloendit, siis sa ei peaks vaatama
seda videot, sest sa ei saa sellest aru.
Niisiis, jätkame.
Ütleme veel korra,et see on mul lõpmatu, nii et see
läheb edasi igas suunas ja läheb välja videost,
kus ta on külgvaates.
Ütleme, et mul on siin punktlaeng Q.
_
Mõtleme natuke sellest, et mul on punkt--
ütleme, et mul on üks pindala siin plaadil.
Mõtleme, milline on selle mõju
sellele laengule on.
Esiteks, ütleme, et see punktlaeng on
kõrgusel h plaadi kohal.
Las ma joonistan selle.
See on kõrgus h, ütleme, et see on punkt otse
punktlaengu all ning, et see vahemaa
siin on r.
Esiteks, kui suur on vahemaa meie plaadi
selle osa ja meie punktlaengu vahel?
Kui suur on see vahemaa, mille ma joonistan violetsena?
Kui suur on see vahemaa?
_
Nii, Pythagorase teoreem.
See on täisnurkne kolmnurk nii, et see on ruutjuur sellest
küljest pluss see külg ruudus.
See on siis ruutjuur h-st
ruudus plus r ruudus.
See on siis vahemaa selle ala ja meie punktlaengu vahel.
Nüüd, üritame natuke seda mõista.
Kui see on positiivne punktlaeng ja see plaat on
positiivselt laetud, siis jõud selle ala
laengult tuleb radiaalselt välja sellest alast nii, et
see on -- las ma joonistan teise värviga, sest ma
ei taha -- see läheb selles suunas, jah?
Aga kuna see on lõpmatu plaat igas suunas,
on kusagil plaadil teine punkt, mis on
olemuselt see sama punkt teisel pool, kus
selle resultantjõud, selle elektrostaatiline resultantjõud
punktlaengule on selline.
Ja nagu sa näed, kuna meil on ühtlane laengutihedus
ja plaat on sümmetriline igas suunas, x ehk
horisontaalne komponent jõust taandub.
Ja see on tõene iga punkti kohta sellel plaadil.
Sest kui sa valid mingi punkti sellel ja me vaatame
seda külgvaates, aga kui me vaatame pealt, kui see on pealtvaade
ja, muidugi, plaat läheb edasi igas suunas
lõpmatult ja see on see, kus meie punktlaeng on, kui
me ütleks, noh, sa tead, siin on see punkt
plaadil ja tal on mingi y-komponent mis selles
pealtvaates tuleb videost välja, aga tal on mingi
x-komponent, selle x-komponendi mõju
taandub välja.
Alati on mingi punkt plaadil, mis
on sümmeetriliselt vastas, mille x-komponendi elektrostaatiline
jõud taandub välja koos selle esimesega.
Teades seda, see on lihtsalt keerutades ütlemine, et
resultantjõud sellel punktlaengul on ainult üles.
Ma arvan, et see peaks olema mõistetav, et kõik
x-komponendid ehk horisontaalsed komponendid
elektrostaatllisest jõust taanduvad välja, sest *** on lõpmatud
punktid kummalgil pool seda punktlaengut.
Nüüd kui see on eest ära, millele peaksime tähelepanu pöörama?
Noh, me peaksime tähelepanu pöörama elektrostaatlise jõu
y-komponentidele.
Kui suur on y-komponent?
Ütleme, et see punkt siin -- ja ma jäängi
värve vahetama.
Ütleme, et see punkt siin -- ja jällegi, see on
küljevaates -- rakendab -- selle väli selles punktis on e1 ja see
läheb selles suunas.
Kui suur on y-komponent?
Kui suur on komponent selles suunas?
Ja, muidugi, see tõukab väljapoole kui
*** on mõlemad positiivsed.
Kui suur on siis y-komponent?
Kui suur see on?
Noh, kui me teame teetat, kui me teaks seda nurka,
y-komponendi ehk ülespidise komponendi suurus on
elektriväli korda koosinus teetast.
Koosinus on hüpotenuusi vastas nii, et hüpotenuus
korda koosinus teetast on võrdne vastasküljega.
Kui me tahaksime elektrivälja vertikaalset
ehk y-komponenti, siis me peaksime korrutama elektrivälja
suuruse koosinusega teetast.
Kuidas me saame teada teeta?
Noh, kui teeta on sama, mis see teeta meie
algsest trigonomeetriast.
Siis kui suur on koosinus teetast?
Koosinus on vastaskülg jagatud hüpotenuusiga,
otse definitsioonist.
Koosinus teetast on võrdne vastaskülg jagatud hüpotenuusiga.
_
Kui me vaatame seda nurka, mis on sama
kui see siin, kui suur on vastaskülg jagatud hüpotenuusiga?
See on vastaskülg, see on hüpotenuus.
Mis me saame?
Me saame elektrivälja y-komponendi tänu ainult
sellele väiksele tükile meie plaadist, elektriväli
y-komponendis, kutsume teda lihtsalt indeks 1, sest see
on ainult väike osa plaadist.
See on võrdne elektriväljaga üldiselt, see elektrivälja
suurus sellest punktist, korrutatud koosinusega
teetast, mis on võrdne elektriväli korrutatud
vastaskülg -- korda kõrgus-- jagatud hüpotenuusiga-- jagatud
ruutjuurega h-st ruudus pluss r ruudus.
No jah.
Vaatame, kas me saame nüüd välja arvutada, mis on
elektrivälja suurus ja, siis me saame ta tagasi panna
sellesse ja me saame teada y-komponendi sellest punktist.
Ning tegelikult, me ei arvuta ainult
elektrivälja sellest punktist, me arvutame välja
elektrivälja ringis, mis ümbitseb seda.
Las ma siis lisan natuke perspektiivi või joonistan selle
natukese perspektiiviga.
Siin on mu lõpmatu plaat jälle.
Ma joonistan ta jälle kollasena kuna ma
algselt joonistasin ta kollasena.
See on mu lõpmatu plaat.
See läheb edasi igas suunas.
_
Ning mul on laeng selle plaadi kohal hõljumas
kuskil kõrgusel h.
See punkt siin, see oleks võinud võib-olla siin
olla, aga ma joonistan ringjoone,
mis on võrdse raadiusega ümber selle punkti siin.
See on r.
Joonistame ringjoone, sest kõik need punktid on
samal kaugusel meie punktlaengust.
*** on kõik tõpselt nagu see punkt mille ma siia joonistasin.
Seda võiks isegi kujutleda ristlõikena sellest
ringist, mida ma joonistan.
Arvutame nüüd kui suur on elektrijõu y-komponent
sellest ringist meie punktlaengule.
Et seda teha, peame me arvutama ringi pindala,
korrutama ta laengutihedusega, ja saamegi
selle ringi kogulaengu, siis saame kasutada
Coulomb'i seadust, et arvutada jõud või väli selles
punktis, siis kasutada valemit, mille me just
välja mõtlesime, et leida y-komponent.
Ma tean, et on vaja palju mõtelda, aga see on seda väärt, sest
te saate teada, et meil on konstantne elektriväli.
Teeme seda.
Esiteks, Coulomb'i seadus ütleb meile -- noh, esiteks
arvutame selle ringi laengu.
Ringi Q, millega ta võrdne on?
See on võrdne ringjoone pikkusega korda
ringi laius.
Ütleme, et ringjoone pikkus on 2pir ja see on
väga peenike ring.
Väga peenike.
See on d*r. Lõpmatult peenike.
Selle laius on d*r. See on siis ringi pindala, kui suur
selle laeng on?
See on pindala korda laengutihedus, korda sigma.
_
See on ringi laeng.
Ja kui suur on siis ringi tekitatud elektriväli
selles punktis, kus meie punktlaeng on?
Coulomb'i seadus ütleb meile, et jõud mille tekitab
ring on võrdne Coulomb'i konstant korrutatud
ringi laenguga korda meie punktlaeng jagatud
vahemaa ruuduga.
Kui suur on vahemaa ükskõik millise punktil
ringil ja meie punktlaengul?
See võiks olla üks punktidest ringil ja see
võiks olla teine.
Ja see on nagu ristlõige.
Vahemaa ükskõik millises punktis, see vahemaa siin, on
jällegi Pythagorase teoreemi järgi, sest
see on ka r.
See vahemaa on ruutjuur h
ruudus pluss r ruudus.
See on sama asi mis see.
See on vahemaa ruudus ja see on võrdne k korda
ringi laeng korda meie punktlaeng jagatud
vahemaa ruuduga.
Vahemaa on ruutjuur h ruudus pluss r
ruudus, kui me ta ruutu paneme, saab temast lihtsalt h
ruudus pluss r ruudus.
Kui me tahame teada elektrivälja, mille tekitab
ring, elektriväli on jõud punktlaengu kohta,
kui me jagame mõlemad pooled Q-ga, saame teada,
et ringi elektriväli on võrdne Coulomb'i konstant
korda ringi laeng jagatud h
ruudus pluss r ruudus.
Nüüd kui suur on ringi laengu
y-komponent?
See on see.
Mis me just teada saime on selle vektori
suurus.
Aga me tahame tema y-komponenti, sest kõik
x-komponendid taanduvad välja, see on
korrutatud koosinusega teetast, me juba arvutasime koosinuse
teetast on see, nüüd me korrutame sellega.
Ringi väli y-suunas on võrdne
tema suurusega korda koosinus teetast, mis oli
h jagatud ruutjuur h
ruudus pluss r ruudus.
Me võiksime seda natuke lihtsustada.
Kui suur on siis nimetaja?
h ruudus pluss r ruudus asmtes 3/2.
Kui suur on lugeja?
Vaatame, meil on kh ja selle ringi laeng, mille
me lahendasime siin.
See on 2 pi sigma r -- teen kindlaks, et ma midagi ei kaotanud--
dr. Me oleme nüüd arvutanud y-komponendi, vertikaalse
komponendi, elektriväljast kõrgusel
h plaadi kohal.
Mitte tervel plaadil, ainult see elektriväli,
mida tekitab ring raadiusega r alusest, millest me selle
kõrguse võtame.
Ma olen juba 12 minutit selles videos ning, et
anda teile ja endale puhkus, ma
jätkan järgmises.
Aga te võite ette kujutada, mida me nüüd teeme.
Me arvutasime elektrivälja mille tekitab
see ring.
Nüüd me saame integreerida üle terve pinna.
_
Me saame lahendada ringe, mille raadius on lõpmatu kuni
null, see annab meile kõikide elektriväljade
summa ja kogu elektrivälja kõrgusel
h plaadi pinnast.
Näeme järgmises videos.
_