Tip:
Highlight text to annotate it
X
tuletised 1
Tere tulemast tuletiste esitlusele.
Ma usun, et praegusest hetkest alates muutub
matemaatika õppimine palju lõbusamaks kui enne.
Alustame tuletistega.
Tean, see kõlab keeruliselt.
Üldiselt, kui on tegemist sirgjoonega,
üritan joonistada sirgjoone ja
ühtlasi joonistan lisaks
koordinaatteljestiku.
Kui tegemist on sirgjoonega ja on vaja
leida selle puutuja,
on see y muut jagatud x muuduga.
Sirgjoone puhul on joone puutuja
väärtused samad terve joone ulatuses,
kuid kui ma tahan selle joone puutujat leida ükskõik millises punktis,
valin ma selleks
oletame punkti x.
Valin suvaliselt kaks punkti
ja seejärel
arvutan y muudu.
See on delta y ehk y muut
ja see on x muut
ehk delta x.
Ja me teame, et puutuja leidmiseks peame
jagama y muudu
x muuduga.
Teisiti öeldes on tegemist
delta y jagatud delta x-ga.
Väga lihtne.
Kuid mis saab siis
kui tegemist ei ole sirgjoonega?
Püüan joonistamiseks ruumi leida.
Nii - uus koordinaatteljestik.
Ikka tuli veidi segane,
aga ma loodan sa saad aru.
Oletame, et tavalise joone asemel, mis on üldiselt
y = mx + b,
on meil tegemist
kõveraga y = x ruudus.
y = x ruudus näeb umbes selline välja.
Kõverjoonega peaksid praeguseks juba tuttav olema.
Ja nüüd küsimus -
milline on selle joone puutuja väärtus?
Kui mõtlema hakata -
mida õigupoolest tähendab kõverjoone puutuja leidmine?
Sirgjoone puhul on joone puutuja terve joone
ulatuses sama väärtusega.
Kuid kõvera puhul
puutuja väärtus muutub.
Siin on puutuja peaaegu tasapinnaline ning
seejärel muutub järjest järsemaks.
Ja graafikut laiendades on see juba väga järsk.
Kuidas siis leida puutujat
kui joon pidevalt muutub?
Pole olemas kindlat puutujat mis vastaks tervele kõverjoonele.
Sirgjoone puhul on see võimalik,
kuna selle kaldenurk ei muutu.
Kuid me võime leida puutuja
joone kindlas punktis.
Ja puutuja antud punktis olekski
sama mis joone puutuja.
Näiteks selles punktis on puutuja samaväärne
selle kõverjoone punkti väärtusega
Selge?
Seda seetõttu, et jooned on omavahel tangentsiaalses seoses.
Ja just selles punktis, kuna need jooned
puutuvad kokku -- see sinine kõverjoon y = x ruudus
on sama väärtusega mis roheline joon.
Liikudes punkti võrra tagasi,
oleks puutuja
midagi taolist.
Niisiis, joone puutuja.
Ühe joone tõus on negatiivse väärtusega ja teise
joone tõusu väärtus
positiivne.
Kuidas me sellele kõigele lahenduse leiame?
Kuidas leida puutuja ükskõik
millises graafiku y= x ruudus punktis?
Siin tulebki mängu tuletis
ja esmakordselt saab selgemaks
miks piirväärtus kasulik on.
Joonistan kõvera uuesti esimesse veerandisse.
Joonistan koordinaatteljestiku --
-- y-telg ja
x-telg ja
graafiku joonistan kollasega.
y = x ruudus näeb umbes selline välja.
Ma tõesti üritan seda
arusaadavalt joonistada.
Oletame, et me tahame leida puutujat
selles rohelises punktis.
Nimetame seda punktiks a.
Selles punktis x = a.
Seega see on f(a).
f(a).
Üritame nüüd seekansi joone
puutuja leida.
Valime läheduses veel ühe punkti,
näiteks selle siin,
ja kui me arvutame selle joone puutuja, on see umbkaudu
võrdne puutuja väärtusega
kõverjoone selles punktis.
Joonistan seekansi joone.
Umbes selline.
Seekansi joon näeb umbes selline välja.
Oletame, et see punkt on (a + h), kaugus a-st
(a+h)-ni on h ning
see punkt omakorda oleks siis
f(a + h).
See oleks siis umbkaudu
joone puutuja selles punktis.
Ja mida lähemal on h, seda lähemal on see punkt
teisele punktile ja seda täpsemaks muutub meie arvutus,
kuni selleni välja,
et leiame puutuja
punktis kus h = 0.
Kuid kuidas siis leida
puutuja punktis h = 0.
Praegu väidame, et puutuja
nende kahe punkti vahel
on y muut.
x koordinaat on seega
(a + h)
ja y koordinaat on
(f(a + h)).
Ja selle punkti koordinaadid on (a, f(a)).
Kasutame sama valemit mis enne:
jagame y muudu x muuduga.
Milline on y muut?
See on (f(a + h)), lahutame sellest teise y koordinaadi
f(a) ja jagame selle x muuduga.
x muut on
((a + h) - a).
a-d taanduvad.
Seega saime (f(a + h) - f(a)) jagatud h-ga.
See on seekansi joone puutuja.
Ja kui tahame leida joone puutujat
on vaja uurida mis toimub
h kahanemisel.
Vist taipad kuhu ma oma jutuga jõuda tahan.
Kui tahame leida joone puutujat,
peame leidma
selle piirväärtuse h ->0.
h -> 0 on seekansi joon aina
lähemal joone puutujale.
Ja nii leiamegi
kõverjoone puutuja.
Tegelikult on see ühtlasi
tuletise definitsioon.
Tuletis pole midagi muud kui kõverjoone
puutuja kindlas punktis.
Ühesõnaga kõik millest me
siiani rääkinud oleme
käibki joone puutuja kohta.
Nüüd saame valida suvalise
pideva kõverjoone
ning leida selle joone puutuja.
Oleme leidnud tuletise definitsiooni
ning järgmises videos
rakendan ma seda definitsiooni
mõningatel funktsioonidel, näiteks x ruudus jt ja
annan mõned ülesanded lahendamiseks.
Näeme taas järgmises videos.