Tip:
Highlight text to annotate it
X
Selles videos tahan natuke korrata kõike
mida me teame pi kohta ja kuidas mõõdame
nurki radiaanides ja siis mõelda, kas pi
on ilmtingimata parim number millele tähelepanu osutada.
Mõtleme natuke sellest mis ma just ütlesin.
Pi mida me teame desineeritakse -- ma kirjutan 'defineeritakse' kolmekordse võrdusmärgina,
seda võib nii nimetada.
Pi defineeritakse kui ringi ümbermõõdu suhet
selle diameetri, mis on sama mis ümbermõõdu
suhe kahekordsesse raadiusse
ja sellest tulenevad kõik need huvitavad valemid, mis õpetatakse
geomeetria tunnis.
Kui teil on raadius ja on vaja arvutada ümbermõõt,
korrutage selle definitsiooni mõlemad osad kahekordse raadiusega
ja tuleb välja, et 2 korda raadius korda pi võrdub
ümbermõõduga või tavaliselt sõnastatakse see:
ümbermõõt võrdub 2 korda pi korda r.
See on üks baasteadmistest, mis õpite
väga vara ja kasutate tavaliselt ümbermõõtude leidmiseks
või raadiuse leidmiseks kui teil on ümbermõõt.
Sellest tuleneb see, kuidas me mõõdame nurki radiaanides
kui jõuame trigonomeetriani. Lihtsalt
kordamiseks, joonistame siia ühe ringi...
Joonistame natuke parema ringi...
See on mu -- saame sellega hakkama-- ja siis on positiivne x telg ja
ma ten siia ühe nurga. Teen selle nurga ilmselgeks
et...teen siia ühe nurga.
Ja nurkade mõõtmisel kui räägime radiaanidest,
räägime tegelikult nurkadest, mis vastab teatud
pikkusega kaarele. Ja kaare pikkust mõõdame--
vähemalt mulle meeldib nii mõelda-- nurk on radiaanides
ja kaare pikkus ise on raadiustes (radiuses), mis pole tegelikult
inglise keeles sõna, aga nii meeldib mul mõelda. Mitu raadiust
on selle kaare pikkus, mis vastab nurgale radiaanides?
Kohe näitan millest ma räägin.
Mis on selle kaare pikkus kui raadius on r?
Geomeetriast teame, et terve
ümbermõõt on 2 pi r.
Terve ümbermõõt -- definitsiooni järgi--
kogu ümbermõõt on 2 pi r. Niisiis, mis on
selle kaare pikkus? Eeldan, et see on neljandik
ringist, seega on see 2 pi r jagatud 4'ga. Seega selle kaare
pikkus siin on 2 pi r jagatud 4'ga,
mis on sama mis pi jagatud 2 r'ga, või võib öelda, et see on
sama asi mis pi jagatud 2'ga raadiust.
Üks nendest -- mitte päris sõnadest, aga mulle meeldib nii
mõelda või võib öelda, et see vastab nurgale
suurusega pi jagatud 2'ga radiaani. Niiet siin theeta on pi/2 radiaani.
Niisiis kui te mõõdate nurki radiaanides,
tegelikult ütlete lihtsalt, "olgu, see nurk vastab
mitme raadiuse pikkusele kaarele...või
ma isegi ei tea mis raadiuse mitmus on...
Tegelikult on see vist "radii", aga on lõbus üritada öelda "radiuses".
"Radii", ma peaks seda kasutama, et inimesed ei hakkaks rääkima, "Sal, sa
õpetad inimestele valesid sõnu!"
"Radii". Selle kaare pikkus on pi/2 raadiust ja
see vastab nurgale, mille suurus on pi/2 radiaani. Saame teha
veel ühe, et oleks selgem...
Kui minna ümber ringi -- kui te
läheksite terve tee ümber ringi ja tuleksite tagasi
positiivse x-ätelje juurde siin, mis on selle kaare pikkus?
Nüüd on kaare pikkus terve ümbermõõt,
see on 2 pi r, mis on sama asi mis
2 pi raadiust ja saame öelda, et nurk, millele vastab
see kaar, nurk mis meid praegu huvitab,
mis viib meid ümber terve ringi, on 2 pi radiaani.
Ja sellest tulenevad kõik asjad,
mis teame trigonomeetriliste funktsioonide
joonestamisest või vähemalt graafikute mõõtmisest
x teljel ja see puudutab ka Euleri valemit,
mis on minu arust kõige ilusam valem matemaatikas.
Kordame neid praegu, lihtsalt selleks, et meenutada
kuidas pi kõigega kokku puutub. Niiet kui mõelda
trigonomeetrilistest funktsioonidest, pange tähele, kui see oleks
trigonomeetriliste funktsioonide tund, eeldaksime, et meil on
ühikringjoon. Seega trigonomeetriliste funktsioonidega on meil see
ühikringjoone definitsioon, see on kena
ülevaade kogu teemast. Eeldate, et teil on ühikringjoon,
ringjoon raadiusega 1 ja trigonomeetrilise funktsioone defineeritakse...
iga nurga jaoks, iga theeta jaoks,
koosinus theetast on kui kaugele peab liikuma...
tähendab selle ringjoone punkti x'koordinaat
see on theeta koosinus ja siinus theetast on
selle punkti y-koordinaat. Koosinus on x-koordinaat ja
siinus on y-koordinaat. Niiet kui joonestada
üks neist funktsioonidest, ma teen siinuse theetast mugavuse mõttes,
aga te võite proovida ka koosinusega...joonestame
siinuse graafiku. Teeme siinus theeta ühe pööre.
Ja me kipume sildistama, niiet kui nurk on 0 kraafi,
siinus theeta on ka 0 -- joonistan siia koordinaatteljestiku
et te mäletaksite...siin on y-telg ja siin on
x-telg. Niiet kui nurk on 0,
oleme ühikringjoones siin, selle koha y-koordinat on
0, niiet theeta siinus on ka 0. Joonistan
selle siia...
See on meie theeta ja siin -- joonestan
siinus theeta't mööda y-telge, ütleme, et y võrdub
selles graafikus siinus theeta'ga.
Ja siis joonestan ma välja ainult lihtsad punktid,
seega muudame nurkka -- kui teeksime seda kraadides, siis
90 kraadi, radiaanides on see pi/2 radiaani.
Mis on siin siinus theeta?
Nüüd on see 1, kuna see on ühikringjoon, on selle raadius 1
niiet kui meie nurk on pi/2,
siis siinus theeta on võrdne 1'ga. See siin on 1,
siinus theeta võrdub 1'ga ja kui minna 180 kraadi
või pool ringjoont, on theeta nüüd võrdne pi'ga.
Kui theeta võrdub pi'ga, on y-koordinaat
selles punktis taaskord 0, niiet oleme jõudnud tagasi
nullile, jätke meelde - räägime siinus theeta'st
ja siis saame minna siia alla, seda kohta
võib vaadelda kui 270 kraadi või
3pi/2 radiaani. See telg siin on radiaanides.
Niiet 3pi/2 radiaani, siinus theeta on
selle punkti y-koordinaat ühikringjoonel, niiet see on
miinus 1. Ja siis
kui olete lõpuks jõudnud tagasi alguspunkti, olete
läinud 2pi radiaani ja olete seal kust alustasite
ja siinus theeta selles punktis on jälle 0.
Ning kui ühendate punktid või
joonestate neid rohkem, näete selles teljestikus
mis me joonistasime, siinuskõverat.
See on veel üks rakendus. Ütlete "kuule, Sal,
mis sa üritad öelda?". Ma näitan ja meenutan teil
kõiki neid asju sest kavatsen neid uuesti vaadata
pi'st erineva numbriga.
Tahan näidata teile pi'ga veel ühte asja. Ütlete
"Tead, pi on võimas, sest, või üks põhjustest miks pi'l
paistab olevat mingi müstiline jõud ja seda me näitasime
calculuse juures,
on Euleri valem. e astmes i theeta võrdub
koosinus theeta pluss i siinus theeta. See iseenesest
on üks neist peadpööritavatest valemitest, aga
mõnikord on see veel rohkem peadpööritav kui
asendate pi theetasse, sest siis Euleri
valemi järgi saame, et e astmes i pi võrdub
-- mis on pi koosinus? Pi koosinus on miinus 1
ja pi siinus on 0, niiet 0 korda i, niiet saate
selle valemi, mis on päris huvitav ja siis,
kui tahate ühes valemis näha kõiki
fundamentaalseid numbreid, liidate mõlemale poolele
ühe ja saate, et e astmes i pi pluss 1 võrdub 0'ga.
Mõnikord nimetatakse seda Euleri identiteediks, kõige
ilusamaks valemiks terves matemaatikas
ja see on päris sügav, teil on kõik fundamentaalsed
numbrid ühes valemis - e, i, pi, 1, 0. Kuigi
minu esteetilise maitse jaoks oleks see veel
võimsam kui siin oleks 1.
Sest siis see e astmes i pi, see veider asi,
võrdub
ühtsusega. Paistab kuidagi häkkine lisada mõlemale poolele ühe,
"vaata aga, nüüd on mul siin null",
aga see on päris hea. Sellest lähtuvalt, kavatsen nüüd
näidata teile argumente
veidi erineva , pi'st erineva numbri kohta.
Ma tahan, et te teaksite, et need
ideed pole mu enda omad, *** on inspireeritud paljudest inimestest,
kes on praegu selles liikumises, Tau liikumises ja need
on inimesed, kes panid mu mõtlema sellest
ja esimene neist on Robert Palais, kes kirjutas "Pi is wrong!" ja ta ei
vaidle, et pi on valesti arvutatud, ta ikka
nõustub, et see on ümbermõõdu ja diameetri
suha, et see on 3.14159. Tema aga väidab, et
me pöörame tähelepanu valele numbrile.
Lisaks sellele on Michael Hartl, "Tau manifesto",
kõik see on veebis saadaval. Ja see, mille eest *** vaidlevad,
on number, mida *** nimetavad tau'ks
ja *** defineerivad tau'd -- ja see on väga kerge samm pi lt --
*** defineerivad tau'd mitte ümbermõõdu
suhtena diameetri, ümbermõõdu suhtena
kahekordsesse raadiusse, vaid ütlevad, "hei, kas poleks
loomulik defineerida mingi number, mis oleks
ümbermõõdu suhe raadiusse?" Ja nagu näete,
on pi lihtsalt pool sellest numbrist, jah?
Ümbermõõt jagatud kahe r'ga, sama asi mis
pool korda ümbermõõt jagatud r'ga, niiet pi on lihtsalt
pool tau'st, teine viis sellest mõelda on, et tau
on kaks korda pi, või -- ja te kindlasti
ei mäleta seda, sest mõtlete,
"oota, ma olen terve oma elu üritanud pi'd meelde jätta", aga see on
6.283185 ja läheb edasi ja edasi je edasi ja kunagi ei kordu
just nagu pi. See on kaks korda pi. Ja te ütlete,
"hei, Sal, pi on eksisteerinud aastatuhandeid juba,
miks kahelda nii fundamentaalses numbris, eriti
kui sa just nii kaua näitasid meile kui
tähtis see on?" Ja nende inimeste argument on,
ja see paistab olevat päris hea argument, et
asjad paistavad veidi elegantsemad kui
pöörate tähelepanu sellele numbrile siin mitte poolele sellest numbrist,
kui pöörate tähelepanu tau'le. Niisiis nüüd
vaatame uuesti üle kõike mis siin tegime. Kui nüüd vaadata
kahte pi'd, mitte pi'd, kui vaadata
poole tau asemel tau'd, mis on
see lilla nurk siin?
Esiteks mõtleme sellest valemist siin,
kuidas saab väljendada ümbermõõtu raadiuse kaudu?
Nüüd saame öelda, et ümbermõõt on võrdne
tau korda raadius, sest tau on sama asi mi
2 pi. Seega see valem on nüüd veidi puhtam,
kuigi pi r ruudus on sellevõrra veidi
koledam, niiet siin võib valeida mõlema poole poolt, aga
see-eest on nüüd radiaanides mõõtmine palju intuitiivsem,
sest võib öelda, et see on pi/2 radiaani või
võib öelda, et pi/2 radiaani on sama asi mis
tau/4 radiaani. Kust see tuleb?
Kui lähete ümber terve ringi,
terve ümbermõõdu, on selle kaare pikkus
ümbermõõt ja see on tau raadiust ja või see oleks
tau radiaani, nurk, mis vastab sellel kaarele
oleks tau radiaani. Terve ring on tau
radiaani, see on iseenesest intuitiivne. Üks pööre
on tau radiaani. Kui minna ühe neljdandiku selest,
tuleb tau/4 radiaani. Tau on
siin intuitiivsem sest pole vaja teha
neid veidraid konversioone, kus on vaja jagada kahega
või korrutada kahega. Kuipalju iganes radiaane
tau mõistes olete läinud, niipalju pöördeid ongi tehtud
ümber ringi niiet kui on mindud 1/4 ringjoonest,
on see tau/4 radiaani, kui on läbitud pool,
on see tau/2 radiaani, kui 3/4, on see
3tau/4 radiaani. Kui on läbitud terve ring, on see
tau radiaani. Kui keegi ütleks teile, et on
nurk suurusega 10tau radiaani, on see täpselt 10 pööret.
See on palju intuitiivsem, pole vaja teha
korrutamisi, jagamisi, muid teisendamisi
radiaanide mõõtmiseks pi mõistes. Ei, kui teha
seda kõike tau'ga, on kõik loomulik. Üks
pööre on üks tau radiaani. Ja siinuse puhul
selle asemel et kirjutada pi/2,
vaadates graafikut, kus oli see ühikringjoonel?
Oli see 1/4 ringi või oli see pool?
Ja tegelikult on see üks neljandik ringist, te olete
siin, aga kõik see muutub ilmselgeks kui
kirjutada tau's. Pau pi -- mitte pau-- pi/2 on sama
asi mis tau/4, pi on sama mis tau/2
epi/2 on 3pi -- vabandust, 3tau/4, 3/4 tau. Ja siis
üks pööre on tau. Ja kui vaadata
seda nii, teate kohe kus
olete ühikringjoonel. Olete liikunud ühikringjoonel 1/4
, olete poole peal, olete
liikunud 3/4 ringist ja siis terve
ringi. Ja viimane asi, mida minu arust
tugevad pi kaitsjad ütlevad, on "Sal, sa just
näitasid meile ühte kõige ilusamat
valemit matemaatikas, kuidas saab
tau selle võistelda?". Aga proovime ja saame teada
mis juhtub. Kui võtta i astmesse i tau,
annab see meile koosinus tau pluss i siinus tau. Ja veelkord,
mõtleme mida see tähendab. Tau radiaani tähendab
tervet pööret ühikringjoonel,
niiet koosinus tau -- pange tähele, oleme tagasi ühikringjoone
alguse juures siin, niiet koosinus tau on
võrdne 1'ga ja siinus tau on 0.
Siinus tau on 0. Niiet e astmes i tau võrdub 1.
Ja ma jätan teile otsustamiseks
kumb tundub esteetiliselt sügavam.