Exponential Decay Formula Proof - Can skip, involves calculus

Mõiste poolestusaeg on kasulik, kui vaatluse all on ajavahemikud, mis on poolestusaja kordsed. Mõiste poolestusaeg on kasulik, kui vaatluse all on ajavahemikud, mis on poolestusaja kordsed. Näiteks, ajahetkel 0 on meil 100% ainet. Näiteks, ajahetkel 0 on meil 100% ainet. Kui on möödunud üks poolestusaeg, siis on alles 50% ainet. Kui on möödunud üks poolestusaeg, siis on alles 50% ainet. Kui on möödunud kaks poolestusaega, on alles 25% ainet. Ja nii edasi ja edasi. Olgu näiteks möödunud kolm poolestusaega. Süsiniku puhul on selleks ligikaudu 15000 aastat. Sellisel juhul saan peaaegu täpselt öelda, kui suur protsent algsest ainest on veel alles. Süsinik-14 puhul saan öelda, kui suur protsent algsest kogusest pole lagunenud lämmastik-14-ks. algsest kogusest pole lagunenud lämmastik-14-ks. See kõik on kasulik. Aga kui oleks vaja teada, kui palju süsinikku on alles poole aasta, poole poolestusaja, kolme miljardi aasta või 10 minuti pärast? Mis siis, kui ma vajaksin üldist funktsiooni. Üldist funktsiooni, funktsiooni ajast, mis annaks laguneva aine koguse. Üldist funktsiooni, funktsiooni ajast, mis annaks laguneva aine koguse. See ongi antud video teema. See saab olema üsna matemaatiline, kuid see ei tohiks olla liiga keeruline, eriti kui olete läbinud esimese kursuse matemaatikat. See on selle üsna puhas rakendus. Mõtleme veidi muundumise kiirusele, tõenäosusele või osakeste hulgale, mis mingil kindlal ajahetkel muunduvad. Osakeste arvu muutus väga lühikese aja jooksul - Osakeste arvu muutus väga lühikese aja jooksul - millest see sõltub? See siin on allesolevate osakeste arv mingil kindlal ajahetkel (t). See siin on allesolevate osakeste arv mingil kindlal ajahetkel (t). See siin on muundumise kiirus. Me teame, et muundumise kiirus aja jooksul väheneb. Teame, et see on negatiivne arv. Võiksime sarnast ülesannet lahendada ka liitintressi leidmise puhul. Võiksime sarnast ülesannet lahendada ka liitintressi leidmise puhul. Kuid seal ei oleks tegemist negatiivse numbriga. Kasv sõltub sellest, kui palju meil midagi on. Antud juhul on laguneva aine kogus proportsionaalne, kuid see on negatiivne olemasoleva ainekoguse suhtes. see on negatiivne olemasoleva ainekoguse suhtes. Seletan seda lähemalt. Aine lagunemise määr on proportsionaalne selle ainekogusega, mis meil vastaval hetkel veel alles on. selle ainekogusega, mis meil vastaval hetkel veel alles on. Et teha seda veelgi selgemaks - kujutlegem olukorda, et meil on 10 astmes 9 (miljard) süsiniku aatomit. Olgu meil siin 10 astmes 6 süsiniku aatomit. Olgu meil siin 10 astmes 6 süsiniku aatomit. Kui nüüd vaadelda seda mingi lühikese ajavahemiku, ütleme ühe sekundi jooksul, ütleme dt jooksul. Kui nüüd vaadelda seda mingi lühikese ajavahemiku, ütleme ühe sekundi jooksul, ütleme dt jooksul. dt on lõpmatult väike ajaühik, kuid ütleme, et see on muutus ajas. dt on lõpmatult väike ajaühik, kuid ütleme, et see on muutus ajas. See on delta t. Oletame, et jälgiti ühe sekundi jooksul seda süsiniku kogust ning leiti, et lagunes 1000 süsiniku aatomit. Seda ei ole küll tegelikult süsinik-14 puhul näha, kuid toome siinkohal lihtsalt sellise näite. Ütleme, et selle süsinikukoguse puhul nägime 1000 süsiniku aatomi lagunemist. Ütleme, et selle süsinikukoguse puhul nägime 1000 süsiniku aatomi lagunemist. Selles hulgas siin on 1000 korda vähem süsiniku aatomeid. Selles hulgas siin on 1000 korda vähem süsiniku aatomeid. Seega, iga tuhande süsiniku aatomi kohta, mille lagunemist sekundis nägime seal, loodame siin näha ühe süsiniku aatomi lagunemist sekundis. loodame siin näha ühe süsiniku aatomi lagunemist sekundis. Seda seetõttu, et siin on väiksem kogus süsinikku. Me ei tea, milline on tegelik konstant. Kuid me teame, et sõltumata sellest, millise ainega on tegemist, sõltub konstant sellest ainest. Süsiniku puhul on see konstant erinev, kui uraani või radooni puhul. Süsiniku puhul on see konstant erinev, kui uraani või radooni puhul. Nende kõigi puhul oleks see konstant erinev. Nende kõigi puhul oleks see konstant erinev. See on näha. Käsitleme seda teemat järgmises videos. Selle konstandi saab arvutada poolestusaja põhjal. Kuid muundumise kiirus sõltub alati sellest, kui palju osakesi on veel muundumata, eks ole? Nägime seda siin poolestusaja puhul. Kui on poole vähem osakesi, siis ka laguneb poole vähem osakesi. Kui alustasime siin 100 osakesega, seejärel jäi 50 osakest, lõpuks 25 osakest. Kui alguses on 50 osakest, siis 1 poolestusaja jooksul laguneb sellest 25 osakest. Kui alguses on 100 osakest, siis 1 poolestusaja jooksul laguneb sellest 50 osakest. Seega, laguneva aine hulk sõltub sellest, milline kogus ainet järel on. Seega, laguneva aine hulk sõltub sellest, milline kogus ainet järel on. See kehtib iga suvalise ajavahemiku jooksul. Siin on meil väga väike ajavahemik. See, mille siia kirja panin, on tegelikult üsna lihtne, kuid paljude inimeste jaoks see ei kõla lihtne, kui mainida, et tegemist on diferentsiaalvõrrandiga. Saame selle võrrandi lahendada üsna lihtsaid tehnikaid kasutades. Saame selle võrrandi lahendada üsna lihtsaid tehnikaid kasutades. See on muutujate eraldamise ülesanne. Mida me saame teha. Jagame võrrandi mõlemad poole läbi N-ga. Soovime kõik N-d saada võrrandi vasakule poole ja kõik t-d võrrandi paremale poole. 1 jagatud N, korrutatud dN, jagatud dt võrdub miinus lambda. 1 jagatud N, korrutatud dN, jagatud dt võrdub miinus lambda. Jagasin võrrandi mõlemad pooled läbi N-ga. Nüüd korrutame võrrandi mõlemaid pooli dt-ga, saame 1 jagatud N, korrutatud dN-ga võrdub miinus lambda korrutatud dt-ga. Nüüd saame võtta võrrandi mõlemast poolest integraali. Nüüd saame võtta võrrandi mõlemast poolest integraali. Mis me saame? Milline on tuletise algfunktsioon? Leiame määramata integraali (ehk tuletise algfunktsiooni). Leiame määramata integraali (ehk tuletise algfunktsiooni). Millest tuletist võttes saame vastuseks 1/N? See on naturaallogaritm N-st pluss mingi konstant. Kirjutame selle sinisega. See võrdub... Millest tuletist võttes saame vastuseks konstandi? See on konstant korrutatud vastava muutujaga. See on konstant korrutatud vastava muutujaga. Muutuja, mille suhtes integraali võetakse. Muutuja, mille suhtes integraali võetakse. Seega, miinus lambda korrutatud t-ga pluss mingi konstant. Need on küll erinevad konstandid, kuid võime viia konstandid ühele võrrandi poolele ning ühest konstandist lahutada teise, mille tulemusena saame uue konstandi. Võrrand taandub järgmisele kujule: naturaallogaritm N-st võrdub miinus lambda korrutatud t-ga, pluss mingi konstant (nimetame selle näiteks c3). Lahendame selle võrrandi N suhtes. Võtame võrrandi mõlemad pooled e astmele. Võtame võrrandi mõlemad pooled e astmele. Seda võtet võib vaadata, kui tagurpidi naturaallogaritmi võtmist. e astmel naturaallogaritm N-st. Naturaallogaritm N-st näitab, millisele astmele on e vaja tõsta, et saada vastuseks N. Kui nüüd e tõsta sellele astmele, siis saame vastuseks N. Tõstame võrrandi mõlemad pooled e astmele. Tõstame võrrandi mõlemad pooled e astmele. e astmes ln N-st on N. See võrdub e astmes miinus lambda korrutatud t-ga, pluss c3. Selle saame omakorda kirjutada järgmiselt: N võrdub e astmes miinus lambda korrutatud t-ga, korrutatud e astmes c3-ga. e astmes c3 on jällegi konstant, nimetame selle c4. nimetame selle c4. Diferentsiaalvõrrandi lahend on järgmine: N (funktsioon t-st) võrdub c4 korrutatud e astmes miinus lambda korrutatud t-ga. N (funktsioon t-st) võrdub c4 korrutatud e astmes miinus lambda korrutatud t-ga. Oletame, et N võrdub 0-ga. Oletame, et N võrdub 0-ga. Algselt on aine kogus N indeksiga null. Algselt on aine kogus N indeksiga null. Vaatame, kas saame asendada selle meie võrrandisse ning lahendada võrrandi c4 suhtes. Vaatame, kas saame asendada selle meie võrrandisse ning lahendada võrrandi c4 suhtes. N (kohal 0) võrdub.... asendame siia t=0... see võrdub N0. See omakorda võrdub c4 korrutatud e astmes miinus lambda korrutatud 0-ga. Miinus midagi korrutatud 0-ga on 0. See on e astmes 0. See on lihtsalt 1. Seega c4 võrdub N0 ehk algse ainekogusega. Seega c4 võrdub N0 ehk algse ainekogusega. Saimegi võrrandi. Meil on aine hulk (kui funktsioon ajast t), see võrdub Meil on aine hulk (kui funktsioon ajast t), see võrdub aine algne hulk korrutatud e astmes miinus lambda korrutatud ajaga (t). aine algne hulk korrutatud e astmes miinus lambda korrutatud ajaga (t). Tuleb olla ettevaatlik ning kasutada aega alati konstandina, kui soovime lahendada võrrandit erinevate koefitsientide suhtes. See näib abstraktne. Kuidas see kõik seostub poolestusajaga? Üritame leida võrrandi süsiniku jaoks. See võrrand kehtib kõikjal, kus on tegemist radioaktiivse lagunemisega. Kui siin oleks plussmärk, siis oleks tegemist eksponentsiaalse kasvu valemiga. On teada, et süsinik-14 poolestusaeg on 5700 aastat. Võiksime mõelda järgnevalt: alghetkel aeg t=0, kirjutan selle välja. N (0) võrdub - võime siia kirjutada näiteks 100. N(0) võrdub - võiksime siia kirjutada näiteks kasvõi 100. Miks me ei võikski seda teha? N(0) võrdub 100. 5700 aasta pärast on meil N(5700) . Arvestame t-d aastates, selles osas tuleb olla täpne. Kui palju süsinikku on veel alles? Alles on 50. Me oleksime võinud kirjutada siia x ja siia x/2, ka selline viis toimiks. Asendame need nüüd võrrandisse ja üritame lahendada selle lambda suhtes. Asendame need nüüd võrrandisse ja üritame lahendada selle lambda suhtes. N(0) võrdub 100. Antud juhul saame selle võrrandi kirjutada järgnevalt: N(t) võrdub 100 korrutatud e astmes miinus lambda korrutatud t. N(t) võrdub 100 korrutatud e astmes miinus lambda korrutatud t. Saame kirjutada ka, et N(5700) võrdub... Ühe poolestusaja möödumisel on meil alles pool algsest süsinikust. Ühe poolestusaja möödumisel on meil alles pool algsest süsinikust. Seega N(5700) võrdub 50, mis võrdub 100 korrutatud e astmes miinus lambda korrutatud 5700-ga. Seega N(5700) võrdub 50, mis võrdub 100 korrutatud e astmes miinus lambda korrutatud 5700-ga. See võrdub 100 korrutatud e astmes miinus lambda korrutatud 5700-ga. See võrdub 100 korrutatud e astmes miinus lambda korrutatud 5700-ga. Nüüd lahendame saadud võrrandi lambda suhtes. Siis saame üldise võrrandi, leidmaks, kui palju süsinikku on mingil suvalisel ajahetkel veel järel. Jagame võrrandi mõlemad pooled 100-ga. Mis me saame? Saame 1/2 võrdub e astmes miinus lambda korrutatud 5700-ga. Saame 1/2 võrdub e astmes miinus lambda korrutatud 5700-ga. Võtame võrrandi mõlemast poolest naturaallogaritmi. Kerin natuke allapoole. Naturaallogaritm 1/2-st võrdub 5700 korrutatud lambdaga. 5700 korrutatud lambdaga. Lambda suhtes lahendades saame, et lambda võrdub naturaallogaritm 1/2-st jagatud miinus 5700-ga. Arvutame selle välja. Arvutame selle välja. Naturaallogaritm 0,5-st on see siin, jagame miinus 5700-ga, saame 1,2 korrutatud 10 astmes miinus 4. Lambda võrdub 1,21 korrutatud 10 astmes miinus 4. Leidsimegi lambda. Seega, üldine võrrand, arvutamaks, kui palju süsinik-14 on mingil suvalisel ajahetkel t (aastates) veel alles, on järgmine: Seega, üldine võrrand, arvutamaks, kui palju süsinik-14 on mingil suvalisel ajahetkel t (aastates)veel alles, on järgmine: N(t) võrdub N0 (süsiniku kogus alghetkel) korrutatud e astmes miinus lambda - N(t) võrdub N0 (süsiniku kogus alghetkel) korrutatud e astmes miinus lambda - lambda on 1,21 korrutatud 10 astmes miinus 4 - korrutatud t-ga (aastates). Kui nüüd sooviksime leida süsiniku kogust mingi aja pärast, tuleb vaid sisestada võrrandisse see aeg, samuti see, kui palju oli süsinikku alguses, misjärel on võimalik välja arvutada, kui palju on süsinikku järgi 1/2 või miljardi või mustmiljoni aasta pärast. on võimalik välja arvutada, kui palju on süsinikku järgi 1/2 või miljardi või mustmiljoni aasta pärast. Järgmises videos lahendame veel neid ülesandeid. Järgmises videos lahendame veel neid ülesandeid.