Tip:
Highlight text to annotate it
X
Eelmises videos me õppisime natuke, mis on
suvalise muutuja oodatav väärtus ja me nägime, et see
oli tegelikult lihtsalt üldkogumi keskmine -- sama asi.
Aga suvalise muutujaga, kuna üldkogum on
lõpmata suur, sa ei saa võtta kõiki liikmeid ja
siis leida nende keskmise.
Mida Te peate tegema on - ütlema OK, kõik need liikmed esinevad
mingi sageduse või tõenäosusega ja Te peate
lihtsalt võtma tõenäosusega kaalutud summa.
Mida me nägime eelmises videos, mis oli täpselt sama nagu
kõikide numbrite kokku liitmine ja jagamine numbrite
arvuga, välja arvatud, et see meetod töötas lõpmata suure
numbri ja lõpmata suure populatsioonga, mis
on suvaline muutuja.
Sellepärast, et Te võitegi lihtsalt eksperimenti kordama jääda, mis
genereerib suvalise muutuja.
Ja siis me tegelikult arvutasime oodatava väärtuse
sellele kindlale binominaaljaotusele, mida me õppisime,
eriti seda, milles oli mündi viskamine.
Selles videos, me leiame üldise valemi keskmise
või tegelikult, eeldatava väärtuse binom-
jaotusele.
Kui me ütleme, et suvaline muutuja x on võrdne
me näiteks võime seda kutsuda edukateks katseteks.
Edukate katsete hulk tõenäosusega p pärast n katset.
Ma olen siin natuke üldine.
See tähendab, ma oleks võinud öelda mündivisete edukas arv
mille tõenäosus on 0.5 pärast 10 viset.
See on sama asi nagu see, ma olen lihtsalt natuke
üldisem siin.
Ja nüüd me tegelikult mõtleme välja, mis
selle oodatav väärtus on.
Ja me nägime, et sa tegelikult mõtlesid välja tõenäosuse
jagunemise selle suvalise muutuja jaoks ja Te saate ilusa
binoomjaotuse, mis näeb välja natuke
nagu kellukese kujuline joon.
Ja me õpime kellukeste kujuliste joonte kohta pärast rohkem.
Ja enne kui ma tegelikult näitan seda teile ma
annan teile vastuse.
Sellepärast, et vastus teatud määral on tegelikult
päris intuitiivne.
Selle suvalise muutuja oodatav väärtus on n korda
p, või mõned inimesed kirjutavad p korda n.
Teeme selle natuke rohkem käegakatsutavamaks.
Kui ma ütlen, et x on -- las ma teen seda mõne teise värviga.
Ütleme, et x on korvide arv, mille ma sisse viskan.
Kus, ma räägin korvpallist, mitte korvide punumisest.
Korvide arv pärast 10 viset, kus on
tõenäosus, et mul läheb 1 korv sisse on -- ma ei tea -- 40%.
Me teame, et oodatav korvide arv,
pärast seda kui ma teen 10 viset.
Me teame, et oodatav korvide arv pärast seda, kui ma teen
10 viset, kus iga mu korvi mineku tõenäosus on 40%-- kõik, mis ma tegema pean on
korrutama tõenäosuse
korvide arvuga, mida ma viskasin.
Nii et ma korrutan tõenäosuse korvide arvuga või
minu visete arvuga, mis peaks olema võrdne 4.
Ma tean, et ma ütlesin -- ja sa päriselt ei peaks
kindlasti vaatama oodatavat väärtust kui arvu mitu korvi Te
peaksite sisse saama, sellepärast, et mõnikord tõenäosuse
jaotumised võivad olla imelikud.
Aga binoomjaotuses sa võid seda
vaadata sellel viisil.
Et, see on korvide arv, mis Te peaksite sisse saama.
Või Te võite seda vaadata, kui kõige tõenäolisemat tulemust.
Kui Teil on 40% võimalus sisse saada ja sa teed 10
viset, siis kõige tõenäolisem tulemus on, et Te saate sisse 4 viset.
Te ikkagi võite sisse saada 6 viset või 3 viset, aga see on ikkagi
kõige tõenäolisem tulemus.
Ja minu peas tundub see loogiline, et
kui iga kord, kui sa viskad on sul 40%
võimalus sisse visata.
Nii, et Te iga kord viskate sisse 40% viskest.
Ja pärast 10 viset oled sa sisse visanud 4 tervet viset.
See on üks viis, kuidas sellest mõelda ja miks see võib
tunduda loogiline.
Aga nüüd tõestame endale, et see on
tõsi iga suvalise muutuja korral, mida iseloomustab
binoomjaotus.
Binoomjaotuses mis on tõenäosus -- kui
ma ütlen, mis on tõenäosus, et x on võrdne k?
Ja ma tean, et see muutub natuke keerukaks mõnikord.
aga ma lihtsalt ütlen, et mis on tõenäosus näiteks selles
korvpalli näites.
Oleks ,et mis on tõenäosus, et ma viskan
k võib olla 3 korvi sisse või midagi sellist.
Sellest me räägimegi.
Ja me õppisime, et kui me viskame n korda me
valime neist k.
Ja me tegime seda mitu korda paaris viimases videos.
Ja siis me korrutame selle tõenäosusega ühest
neist juhtumitest.
Kui ma viskan k korda, oleks see tõenäosus, et ma viskan sisse
ühe suvalise korvi, mis on p astmes k.
p korda p, k korda.
See on tõenäosus, et ma viskan sisse k korvi.
Ja kõik ülejäänud korvid ma pean mööda viskama.
Nii et mööda minemise tõenäosus on 1-p.
Ja siis mitu korvi?
Kui ma olenud visanud k korda sisse, ülejäänud peavad mööda minema.
Nii et ma viskan mööda n-k korda.
Nii et ükskõik millise binoomjaotuse korral see on tõenäosus,
et te olete edukas k korda.
Nüüd me teame oodatavat väärtust. Moodus, kuidas arvutada
oodatavat väärtust suvalisest muutuja korral. Tuleb võtta
tõenäosusega kaalutud summa.
Ma ei taha teid segadusse ajada liiga palju ja kui Te põhiliselt
jätate meelde sellest videost selle siin, siis see on piisavalt hea.
Te peaksite ennast hästi tundma.
Nüüd muutub asi natuke tehnilisemaks, aga loodetavasti
ma teen teid natuke tuttavamaks sigma ja
summa tähistusega.
See teeb teid natuke tuttavamaks
binomiaalsete kordajate ja selliste asjadega.
Aga ma lähen lihtsalt tagasi, oodatav väärtus on
tõenäosuse kaalutud summa igast neist.
Mida te tahate teha on, te tahate võtta tõenäosuse,
et x on võrdne k korda k ja siis liita need
igale võimalikule k-le
Kuidas ma seda kirjutaks?
X eeldatav väärtus, oodatav väärtus suvalisest
muutujast, mida kirjeldatakse binoomjaotusega--
on võrdne summaga.
Ja me võtame summa kõigist väärtustest, mida k võib võtta.
k võib alustada 0-st -- korvpalli näites ma ei viska sisse ühtegi
viset-- kuni n-ni, kus ma viskan sisse n viset.
Ja igas neist te tahate korrutadaa k, nii et
kui ma viskasin k viset, korda tõenäosus, et
ma viskan sisse k korda.
Mis oli tõenäosus, et ma viskan sisse k viset?
See oli see siin.
Nii et see oleks k korda n vali k korda p astmes k korda 1
-p astmes n-k
Ja nüüd me lihtsalt teeme natuke algebrat
natuke sigma-algebrat võiks selle kohta öelda.
Esimene lihtsustus, mida me võime teha oleks, me liidame
k võrdub 0 astmes n.
Esimene liige siin saab k võrdub 0 siin.
See on 0 esimeses liikmes.
Kui see liige on 0 siis kogu asi on
0 ja k võrdub 0 liige ei aita kaasa summale,
kuna kogu see asi on 0.
Las ma kirjutan selle välja, kuna, ma arvan, et --- selle summa võib
kirjutada kui 0 korda n vali 0 korda p astmes 0 korda 1
miinus p astmes n miinus 0.
Pluss 1 korda n vali 1 korda p astmes 1 korda 1 miinus
p astmes n miinus 1.
Ja siis sa lisad nii kaua, kuni
sa jõuad kon võrdne n-ni.
Nii, et see oleks n korda n vali n korda p astmes n korda
1 miinus p, n miinus n.
See on lihtsalt teine viis selle summa kirjutamiseks.
Ja mida ma just ütlesin on esimene liige, mis on see liige,
mis on võrdne 0 kuna k on võrdne 0.
0 korda ükskõik mis on 0.
Nii, et me võime seda liiget eirata ja uuesti kirjutada selle summa, kui
põhiliselt selle summa siin.
Ja kui me teeks seda, me põhiliselt
kirjutame uuesti selle asja siin.
Nii, et eeldatav väärtus meie suvalise muutujast
on võrdne summaga.
Ja me ei pea minema alates k on võrdne 0, me võime
alustada k on võrdne 1 nüüd.
Alates k on võrdne 1 kuni sama asja n-ni. k korda n vali
k korda p astmes k, korda 1 miinus p,n miinus k.
Vaatame, mida me siit teha saame.
Kõik mida me siiani tegime oli, me saime lahti esimesest liikmest, kuna
see on seda sorti trikk, mida me kasutame selle lihtsustamiseks lõpuks,
et saada tulemus, mida me tahame.
Nii, et kirjutame välja binoomkordaja ja vaatame, kas me
saame midagi teha seal.
Vaata aga seda.
Mu iPod tahab ühtida.
Las ma saan sellest lahti.
Olgu, kus ma olingi?
Ok, see siis on võrdne -- Ma lihtsalt kirjutan välja
binoomkordaja .
k on võrdne 1 astmes n.
k korda-- see siin on n faktoriaal jagatud k faktoriaal
jagatud n-k faktoriaal.
korda p astmes k korda 1 miinus p astmes n miinus k.
Ja siin ma saame teha väikse lihtsustamise,
kuna mis on k jagatud k faktoriaaliga?
Võibolla ma võiksin selle kirjutada muul viisil. k faktoriaal on k
korda k miinus 1 korda k miinus 2 ja nii edasi, kuni
sa jõuad üheni.
See on k faktoriaal.
Nii, et k faktoriaali võib kirjutada kui k korda k miinus 1 faktoriaal.
See on k korda ja siis 1 väiksem k korda
kõik numbrid sellest allpool.
Las ma kirjutan uuesti.
Selle võib välja kirjutada kui k korda k miinus 1 faktoriaal.
Ja kogu põhjus, miks ma tegin seda oli, et ma saaksin ära
taandada selle k tolle k-ga.
Kui ma saan selle ära taandada siis see nõuab uuesti
kogu asja välja kirjutamist.
Nüüd, ma arvan, võiks öelda, et see lihtsustas seda. See võrdub
summa k-st on võrdne 1 kuni n n-st faktoriaal jagatud k
miinus 1 faktoriaal.
Korda n miinus k faktoriaal korda p astmes k korda 1 miinus
p astmes n miinus k.
Teeme veel ühe lihtsustamise.
Nüüd, mida ma tahan teha on, me umbes teame, kuhu
me suundume, õige?
See peaks lihtsustuma n astmes p-ks.
Vaatame, kas me saame ette võtta n korda p ja vaatame, kas
me saame kõik ülejäänu muuta 1 ja siis
oleksime me valmis.
Me võiksime uuesti kirjutada n faktoriaali kasutades sama võtet siin üleval.
n faktoriaal võib ümber kirjutada kui n korda n miinus 1 faktoriaal
kasutades sama loogikat.
ja siis p kuni k võib kirjutada kui p korda
p astmes k miinus 1.
Ja siis me saame ette tuua selle n ja selle p ja me saame, et see
on võrdne np korda summa k-st on võrdne 1
kuni n vaatame.
me võtsime selle n ja p ette.
n miinus 1 faktoriaal jagatud k miinus 1 faktoriaal korda
n miinus k faktoriaal.
Korda p astmes k miinus 1.
See ei ole nimetajas.
See on lihtsalt tavaline-- korda 1 miinus p astmes n miinus k.
Ja me oleme lähedal.
Jätke meeld, me tahame tulemust mida oodatav tulemus meie
muutujast ja mida me tegime enne.
Too peaks olema võrdne sellega.
Me saame valmis, kui me lihtsalt näitame, et see kogu
asi siin võrdub 1.
Ja, et seda teha ma teen lihtsustava asenduse.
Las ma teen asenduse-- Ma ei tea-- ütleme, et
a on võrdne k-1.
ja b on võrdne n-1.
Ja millega siis oleks n miinus k võrdne?
Vaatame.
Kui a on võrdne k miinus 1 siis a pluss 1 on võrdne k.
Ja siis siin b pluss 1 on võrdne n, järelikult n miinus
k oleks võrdne sellele, a pluss 1 miinus see.
Miinus b miinus 1, need taandavad üksteist.
Mis võrduks a-b
Ja vaatame, kas me saame seda lihtsustada.
Siis see kogu summa muutuks np korda summa
OK, kus k on võrdne 1, see on sama asi--
kui k on võrdne 1, millega on a võrdne?
a on võrdne 0.
Alates a on võrdne 0 kuni-- nüüd kuna on k võrdne n,
millega on a võrdne?
Kui see on võrdne n, kui k on n, siis a on
võrdne n miinus 1.
Siis on meil a võrdne a kuni a võrdne n miinus 1.
Aga n miinus 1 on sama asi nagu b.
Siis me võiks uuesti kirjutada kogu summa siin.
See on alati natuke segadusse ajav.
Te võite panna video pausile ja mõelda selle üle natuke.
Aga ma tean, et ma olen juba üle aja, et ma lihtsalt
liigun edasi.
Ja siis meil oli b võrdne n miinus 1.
See on b faktoriaal jagatud k miinus 1, me
defineerisime, et see on võrdne a.
See on faktoriaal.
Ja siis siin, n miinus k, peaks olema a--
oh, teate mida?
Ma panin selle tagurpidi, see peaks olema b miinus a.
n miinus k -- õige.
n on b pluss 1, järelikult on see b pluss 1 miinus a pluss 1.
Miinus a miinus 1.
1 taandavad üksteist ja jääb b miinus a.
Järelikult n miinus k-st saab b miinus a faktoriaal.
Ja siis p astmes k miinus 1 --- k miinus 1 on p astmes a.
Ja siis korda 1 miinus p astmes n miinus k.
Me juba näitasime, et n miinus k on sama, mis
b miinus a.
Ja siis siin, oleme peaagu valmis -- see
siis, mis see on?
See on tõenäosus, et -- las ma kirjutan selle uuesti
lihtsamalt.
See on võrdne np korda summa alates a on võrdne 0 kuni b.
Mis see on?
See on b vali a.
Mul on b asja ja ma tahan valida neist asju, mitmel
erineval moodusel saan ma -- korda p astmes a korda 1
miinus p astmes b miinus a.
Miks see siin on?
Siin te võtate iga liikme binoom-
jaotuses
Te ütlete, mis on tõenäosus
kui a on võrdne 0?
See on tõenäosus iga a jaoks, õige?
Ja te liidate kokku üle kõik a mida te suudate saavutada.
Kui ma joonistaks kiire jaotuse nagu see siin,
kui a on võrdne 0 siis on teatud tõenäosus.
Siis teatud tõenäosus kui a on võrdne 1. Ja siis veel
üks tõenäosus ja see läheb suuremaks.
Siis see on nagu kellukese kujuline joon, midagi sellist.
See liige siin on igaüks neist.
Igaüks neist kastidest võib öelda esindab
ühte neist liigetest.
Kui a on võrdne 0 on see see liige.
Kui a on võrdne 1 on see see liige.
Kui a on võrdne 2 on see see liige, ja kuni b liikmeni.
Aga me võtame nende summa, järelikult me liidame kokku kõik
tõenäosused.
Me liidame üle kõikide värrtuste, mida meie
suvaline muutuja võib võtta.
Kui me lahendaksime kõik tõenäosused, mida suvaline
muutuja võib võtta, või me liidame üle kõikide väärtuste,
oleks selle summa väärtus 1.
See oleks nagu tõenäosus, et tuleb kull
pluss tõenäosus, et tuleb kiri.
Või võite öelda, et mündiviske näites,
et see on tõenäosus, et mul on üks kull pluss
põenäosus, et mul on 2 kirja, pluss tõenäosus, et mul on 3
kulli, pluss tõenäosus, et mul on 4 kirja, kuni
tõenäosuseni, et mul on b kulli.
Nii, et see on iga olukord, mis võib toimuda.
See on kogu summa üle kogu tõenäosus-
jaotuse, ja see on võrdne 1.
Ja nii jääb meile oodatav väärtus
suvalisest muutujast X on võrdne n korda p.
Kus n on katsete arv ja p on tõenäosus
et katse on edukas.
Ja see on ainult tõsi binoomjaotuse korral.
See ei ole tõsi iga suvalise muutuja x korral.
Ainult tõene, kui suvaline muutuja x, mille tõenäosus
jaotus on binoomjaotus,
Igaljuhul, mu aeg on otsas.
Näeme järgmises videos.