Tip:
Highlight text to annotate it
X
Oleme teinud suure hulga tööd maatriksite korrutamise, liitmise,
lahutamise ning pööramisega.
Nüüd on aeg vaadata, milliseid võimalusi maatriksid
tegelikult pakuvad.
Pidage meeles, et maatriks on lihtsalt üks
andmete esitamise kuju.
Kõik reeglid, mida oleme siiani õppinud on vaadeldavad kui
inimeste poolt loodud reeglid.
Ei ole olemas loodusseadust, mis ütleks, et maatriksite
korrutamine peab toimuma viisil, mida me õppisime.
Arvan, et näete kui me liigume rakenduste juurde,
et viis mil tehted maatriksitega on defineeritud
on tegelikult päris kasulik.
Läheme tagasi oma Algebra 1 või Algebra 2 juurde.
Ma olen unustanud millal te seda tavatsete õppida.
Kuid liigume tagasi lineaarvõrrandite juurde.
Mis on lineaarvõrrandid?
Lineaarvõrrandisüsteemid.
Meil oli kaks joont ning me pidime välja uurima
kus need kaks joont lõikusid.
Nii et teil võis olla midagi nagu-- las ma mõtlen
midagi välja-- 3x pluss 2y.
On võrdne 7-ga.
Ning siis võis teil olla, miinus 6x pluss 6y on võrdne-- ma
pean seda oma peas tegema olemaks kindel et ma saan
numbrid mis töötavad-- on võrdne 6-ga.
Ma usun et see töötab hästi.
Mis oli siin probleemiks?
Hästi, see on sirge ning ka see on sirge.
Ja te pidite leidma nende lõikumispunkti.
Kui te oleksite joonistanud need kaks sirget--
Tegelikult, joonistamegi need.
Kuna see kõik on selleks et jõuda intuitsioonini ning et näha
kuidas see on seotud maatriksite maailmaga.
Sõ*** "maatriksi maailm" omavad peale aastat 1999
täiesti uut tähendust.
Vaatame siis, kui see on mu koordinaatteljestik, mis on see?
Ma pean enda jaoks alati kirjutama kõik kujul y on võrdne mx
pluss b et-- mis see võrrand endast kujutab?
See on y on võrdne 3/3 x pluss 7/2.
Mis on 7/2?
See on umbes nagu 3 tervet 1/2 või midagi?
Ehk kui see on 7/2, siis selle tõusuks on 3 tervet 1/2.
See on natuke järsem tõus kui 1.
Ehk ta näeb välja kuidagi nii.
See on see sirge.
Milline see teine sirge välja peaks nägema?
Ma teen teise värviga.
See peaks nägema välja nagu-- ta on sama nagu--
Oh, teate mida?
Ma tegin selle valesti.
Kuna mulle jõudis just kohale et see sirge on võrdne
miinus 3x pluss 7/2.
Kuna kui me viime selle teisele poolele, saab temast
miinus 3x jagatud 2ga, seega on ta tõus allapoole
langev.
See näeb välja umbes midagi niisugust.
Ta on natuke järsem kui midagi mille tõusuks on
miinus 1, seega ma teen ligikaudselt.
See sirge näeb välja umbes selline.
Ning see sirge on y-- ma kirjutan selle ümber--
y on võrdne x pluss 1, kui ma ei eksi.
Just.
Kuna see läheb teisele poolele.
Jagame kõik 6-ga.
y on võrdne x pluss 1, seega selle y-telje lõikaja on-- me ütlesime
et see oli 3 ja 1/2, seega võib-olla see on 1.
Tõusuga 1.
Siis näeb see välja midagi sellist.
Võrrandisüsteemide lahendamisel tegelete te põhimõtteliselt
selliste x ja y väärtuste leidmisega, mis rahuldavad
mõlemad võrrandit.
See punane sirge näitab meile kõiki x ja y väärtusi mis
rahuldavad esimest lineaarvõrrandit.
See roheline joon näitab kõiki x ja y väärtusi mis
rahuldavad teist võrrandit.
Ning loomulikult nende lõikekoht näitab meile
konkreetset x ja y väärtust, mis rahuldab mõlemat võrrandit.
Sellega tegelesime me Algebra 1 loengutes.
Me lahendasime selleks mõlemad võrrandid.
Ning me kasutasime asendusvõtet või skaleerisime
neid ning liitsime kokku ja nii edasi.
See on ju tegelikult seesama, mida me õppisime ka
Gaussi-Jordani eliminatsiooni meetodi juures.
See on täpselt seesama.
Vahe seisnes selles, et Gaussi-Jordani elimineerimismeetodi puhul
kujutasime me seda natuke erinevalt.
Kuid ma usun et nii palju te juba teate.
Teeme seda nüüd maatriksite maailmas.
Kuidas me saame seda probleemi maatriksitega kujutada?
Me saaksime seda kirjutada nii ning ma võtan natuke
aega et tõestada teile et see päriselt ka on sama
kujutusviis.
Kui me defineerime maatrikseid kujul nagu tegume seda
korrutamise puhul.
Seda probleemi saab defineerida kui 3, miinus 6, 2, 6.
Leidsin koefitsendid, 3, miinus 6, 2, 6.
Ja kui ma korrutaksin selle kohe veeru-
vektori maatriksiga xy.
Ning kui ma võrdustaksin selle teise veeruvektori
maatriksiga, 7, 6.
Nüüd te võite panna pausi peale ning proovida
korrutada see läbi, nagu seda tegema õppisime
maatriksite korrutamises.
Te näete, et tulemuseks on sama asi.
Ma teen selle nüüd juhuks kui
te ei taha ise teha.
Korrutame need kaks maatriksit omavahel.
Korrutame selle maatriksi ja vaatame mis juhtub.
Mida me teeme?
Reainformatsiooni saame esimesest maatriksist, veeru-
informatsiooni saame teisest maatriksist.
See on loomulikult tulemusmaatriks.
Seega saab öelda, 3 korda x pluss 2 korda y on võrdne 7-ga.
See on ju täpselt nagu me siia üles kirjutasime.
3 korda x pluss 2 korda y on võrdne 7-ga.
Kui me sarnasel komberl korrutame alumise rea, saame
miinus 6 korda x pluss 6 korda y on võrne 6-ga.
Kui see teie jaoks arusaamatu oli, minge vaadake uuesti
läbi kuidas me maatrikseid korrutasime.
Kuid kui te vaid korrutaksite selle läbi, saaksite täpselt
needsamad võrrandid.
Seega mõistate loodetavasti et see on vaid järjekordne viis
selle probleemi kujutamiseks.
Kuigi siin ei ole plussmärke
ega võrdusmärke.
Loomulikult peate teadma seda kujutust.
Milleks see kasulik on?
Miks on see kujutis kasulik?
Nimetame seda maatriksiks a.
Nimetame seda vektoriks x.
See ei ole muutuja.
See on vektor.
Teeme selle rasvaseks või paneme väikese väikese vektorimärgi
sinna või midagi.
Misiganes.
Aga te kohtate seda oma õpikus.
Seal on see eriti rasvases kirjas.
Seda nimetame me vektoriks b.
Üldine kuju sellel-- kui ma õigesti mäletan-- on
selline et kõik mille puhul on tegemist maatriksi või vektoriga, on rasvases kirjas.
Ning maatriksid, mille puhul ei ole tegemist vektoritega, millel on rohkem kui
üks mõõde kummaski dimensioonis,
need esitatakse suurte tähtedega.
Samal ajal kui väiketähtedega tähistatakse vektoreid.
Need on maatriksid, aga *** on ühtlasi ka vektorid.
Seepärast on *** väiketähtedega.
Ning see on põhjus miks see siin on suurtähtedega.
See on lihtne konventsioon.
See võrrand on kujul ax = b, kus a on see
maatriks, x on see vektor-- või see maatriks, sama asi-- ning
b on see veeru vektor.
Mida see meile annab?
Mis juhtub kui me teaksime a pöördmaatriksit.
Liigume ühe sammu tagasi.
Kui need oleksid numbrid, mida me ette võtaksime?
Ma andsin teile just algebralise võrrandi, ax = b.
Kuidas seda lahendatakse?
Me saaksime võrrandi mõlemaid pooli jagada a-ga.
Teine viis kuidas seda öelda on, et me korrutaksime mõlemat
võrrandi poolt a pöördarvuga.
Ehk siis, 1/a korda ax on võrdne
1/a korda b.
Need taanduvad ning kokku saame x on
võrdne b/a.
Nii lahendamegi me traditsioonilist
lihtsalt lineaarvõrrandit.
Kuidas seda siin teha?
Mis on maatriksite analoogia jagamise puhul?
Ja ma annan teile nüüd vastuse.
Mis on analoogia pöördarvuga korrutamisel?
Õigus, see on pöördarvuga korrutamine.
Nii et kui me teaksime maatriksi a pöördmaatriksit?
Me saaksime lihtsalt mõlemad pooled sellest
võrrandist korrutada a pöördmaatriksiga.
Pidage meeles, et järjekord on oluline.
See ei ole nii et lineaarvõrrandi lahendamisel
te korrutate 1/a-ga siin poolel.
Aga siis võib seda teha siin paremal pool.
Aga ei.
Pange tähele, ma panin mõlemal juhul selle numbrite ette.
Mõlemal juhul tuleb seda teha arvude ees.
Aga kui meil on teada a pöördmaatriks ja kui a pöördmaatriks eksisteerib
siis me saame korrutada mõlemad pooled-- võib öelda võrrandi
mõlema poole vasaku poole a pöördmaatriksiga.
a pöördmaatriks korda a, korda vektor x on võrdne a
pöördmaatriksiga korda b.
Ainus mida ma tegin, võtsin selle avaldise ja korrutasin
mõlemad pooled a pöördmaatriksiga.
Mis on a pöördmaatriks korda a?
See on ühikmaatriks.
See on ühikmaatriks, korda x on võrdne
b pöördmaatriksiga.
Ning loomulikult on see lihtsalt x.
Ühikmaatriks korrutatuna ükskõik millise maatriksiga
annab tulemuseks sellesama maatriksi.
Nii et see on vaid maatriks x või vektor x
korda a pöördmaatriks b.
Nii et kui teil on antud lineaarvõrrand ja teada on
selle maatriksi pöördmaatriks, et leida x ja y on meil vaja
vaid korrutada see number korda pöördmaatriks.
Ning te võiksite öelda, Sal, see on jube piin.
Kuna selle lineaarvõrrandi lahendamine on ju nii elementaarne.
Miks ma peaksin läbi tegema kogu selle raske pöördmaatriksi leidmise
ning siis seda korrutama pöördarv korda selle numbriga.
Ja ma nõustuksin teiega teatud osas.
Et 2 korda 2 võrrandisüsteeme on lihtsam
lahendada nii nagu me seda tegime Algebra 1 või Algebra 2 kursustel
Aga kui lahendada 3 korda 3 süsteeme, hästi, maatriksi leidmine
3 korda 3 süsteemi jaoks on päris raske
nii et see on ikka raske.
Kuid kui te jõuate üha suuremate numbriteni, on
mõnikord-- hästi, maatriksi leidmine võib samuti keeruline olla--
Aga tegelikult tasub see ennast ära
kui teil on vaja lahendada terve hulk lineaar-
võrrandeid.
Ning vasak pool jääks samaks.
Aga te peate muutma paremat poolt.
Ütleme, et teil on ax võrdub b-ga.
Ning teil on teine, ax võrdub c-ga,
ning ax = d.
Ning need numbrid muutuvad.
Ja need numbrid on samad.
Siis on pöördmaatriksiga lahendamine väga kasulik.
Ning iga kord kui teil on vaja leida uus lahendus, te
korrutate vaid oma uue parema poole oma pöördmaatriksiga
ja saategi vastuse kätte.
Eriti kasulik on see juhul kui me vaatame
seda teisel viisil.
Igatahes, ma tahtsin teile näidata, et
see on täpselt sama asi.
Lahendame selle siis oma teadmistega
mis me oleme maatriksite kohta õppinud.
Ma kustutan selle siin ja ma tean et olen juba üle aja läinud,
aga loodetavasti ei tüüta ma teid liigselt.
Ma jätan selle siia alles, kuna ma usun et
visuaalne kujutus sellest mida me teeme
on hea silmade ees hoida.
Alati hoidke meeles see, mis toimub.
Mis on pöördmaatriks?
Esiteks, a pöördmaatriks on võrdne 1 jagatud a
determinandiga korrutatuna selle abimaatriksiga.
Ma ei ürita siin oma terminoloogiaga muljet jätta ent
mis see nüüd oli siis?
2 korda 2 on üsna lihtne.
Te vahetate need elemendid, saate 6 ja 3.
Ning need kaks elementi korrutate miinusmärgiga.
Seega miinus 6-st saab pluss 6.
Ning 2-st saab miinus 2.
Mis on a determinant?
A determinant on võrdne sellega miinus see miinus see
korda see.
Seega 3 korda 6.
3 korda 6 on 18 miinus see korda see.
Nii et 6 korda 2 on 12.
See on miinus 6.
See on miinus 12.
Miinus miinus 12.
See on võrdne plussiga.
18 pluss 12 on võrdne 30.
Millega võrdub a pöördmaatriks?
1 jagatud 30 korda see asi.
A pöördmaatriks on võrdne-- me võiksime isegi hoida selle 1/30
väljaspool.
See võiks asju lihtsustada.
Hästi, ma panen selle tegelikult--
Nii et millega on võrdne a pöördmaatriks?
See jagatud 30ga.
See teeb 1/5, miinus-- tegelikult ma tahangi seda väljaspool
hoida, kuna see teeb hiljem
korrutamise kergemaks.
Igatahes, a on võrdne 1/30 korda 6, miinus 2, 6, 3.
See on pöördmaatriks.
Nüüd lahendame x ja y kaudu.
Me ütlesime, et x ja y on võrdsed a pöördmaatriks korda b.
Me saaksime öelda et x-- teine viis kuidas tähistada x-i on see.
x on lihtsalt vektor.
x ja y.
Et mitte segadusse sattuda, see x on sellest x-st erinev kuigi
me oleme selle samamoodi kirja pannud.
Kui ma oleksin tüpograaf, siis teeksin selle eriti rasvases kirjas,
et te aru saaksite, et see on vektor.
Võib-olla peaksin kasutama vektori tähistust.
Ma ei tea.
Te võiksite sellega terve rea asju teha.
See on võrdub a pöördmaatriks korda see.
Nii et see on 1/30.
Ma tegin seda maatriksi liitmiseks.
Ma ei jaganud kõike 30ga, et maatriksi
korrutamine oleks natuke kergem.
Miinus 2, 3, korda 7/6.
Ja millega see siis võrdub?
See on võrdne 1/30 korda-- ma tean et ma tekitan siin all
palju segadust-- vaatame.
6 korda 7 miinus 2 korda 6.
Ehk 6 korda 7 on 42.
Miinus 2 korda 6, see on miinus 12.
See on võrdne 30ga.
Ning 6 korda 7 pluss 2 korda 6.
See on 6 korda 7, taaskord 42.
Pluss 2 korda 6.
42 pluss 12 on 50.
Kas see on õige?
6 korda 7-- oh, palun vabandust.
See on 3.
Selle pärast ma sattusingi segadusse.
Näete kui oluline on omada head käekirja.
6 korda 7 on 42, pluss 3 korda 6.
See on 42 pluss 18, mis teeb 60.
Ning *** mõlemad tuleb loomulikult jagada 30ga.
Et saada lõplikud xy.
Kirjutan selle siia.
Ma ei taha midagi kustutada.
Saime et xy on võrdne-- jagame mõlemad 30ga--
on võrdne 1 ja 2ga.
See ütleb meile et need kaks lineaarvõrrandit
lõikuvad punktis x on võrdne 1ga, y on võrdne 2ga.
See võib tunduda raske tööna kuid see on nii vaid
seetõttu et mul kulus aega selle seletamisele jne.
Kuid kui te kohe alguses võtaksite selle, kujutaksite sel
viisil, leiaksite pöördmaatriksi ning korrutaksite, ei oleks see
nii palju aega võtnud.
Ma julgustan teid seda harjutama.
Igatahes, kohtume järgmises videos.
Ja järgmises videos tegeleme täpselt sellesama
probleemiga kuid me näeme näeme et need andmed kujutavad
endast erinevat probleemi.
Näete