Tip:
Highlight text to annotate it
X
Nüüd kui meil on loodetavasti korralik arusaam
võileiva reeglist, me kasutame seda, et tõestada seda piirväärtust
piirväärtus kui x läheneb 0'le siinus kohal
x jagatud x on võrdne 1'ga.
Ja ilmselt oled sa väga põnevil juba, sest
ma olen seda õelnud nii mitu korda.
Teeme seda, ja tegelikult me peame
meelde tuletame trigonomeetria, ja see on visuaalne tõestus.
Ma joonistan siia vähemasti esimese ja neljanda veerandi
ühikringist.
.
Ma peaksin
selle joonistama päris suurelt.
.
.
Ma teen selle nii.
.
See on küllalt täpne.
Ja nüüd ma teen taljed.
See on x-telg, mis näeb välja midagi sellist.
Vabandust, see on y-telg.
.
Siin ta on.
Ja siis x-telg.
See on meie ühikring.
.
.
Nüüd ma joonistan veel paar asja.
Las ma joonistan-- see on raadius, aga ma lähen veidi
kaugemale ühikringist.
.
Lähme siia.
Joonestan veel paar, lihtsalt, et seda ülesannet ette valmistada.
Ei ma tahtsin seda teha.
Ma tahtsin seda teha siit punktist.
Niimoodi.
Ja siit puntist ma tahtsin teha niimoodi.
.
Ja siis ma tahan ühe veel täpselt sellest punktist.
.
Nüüd oleme valmis.
Mis ma ütlesin?
See on ühikring.
Mida see tähendab?
See on ring raadiusega 1.
Kaugus siit siia on 1.
Ja kui see on nurk x radiaanides, siis mis on selle
joone pikkus siin?
.
Definitsiooni poolest siinus x on defineeritud
kui y koordinaat ükskõik millisel ühikringi punktil.
See on siinus x'st.
.
Ruum saab otsa, ma joonistan noole.
See siin on siinus x'st.
.
Las ma küsin, midagi keerulisemat.
Mis on pikkus siin?
.
Mõtleme selle peale.
Mis on tangens?
.
.
Tangens on võrdne vastaskaatet jagatud hüpotenuusiga.
Mis on tangens x'st?
.
See oleks võrdne, kui see on täisnurkne kolmnurk
, oleks see
pikkus -- vastas-- jagatud hüpotenuusiga.
Kutsume seda pikkust siin
o'ks.
Mis on hüpotenuusi pikkus?
Mis on suurema kolmnurga alus?
See on ühikring?
Pikkus siit siia on
sammu 1.
Sest see on jälle raadius.
See on 1.
Vastas kaatet jagatud hüpotenuusiga on võrdne tangensiga.
Aga hüpotenuus on 1.
Vastaskülg täpselt siin on
võrdne tangensiga x'st.
Või teine viis kuidas seda õelda, tangens x'st on võrdne
külg jagatud 1'ga, või tangens x'st on võrdne küljega.
Kirjutan selle üles.
See külg on võrdne tangens x'ga.
.
Mõtleme nüüd paari osa pindala peale
sellel joonisel.
Võib-olla ma peaksin selle joonistame veidi suuremalt, aga
ma arvan, et ma saan hakkama.
Las ma võtan ühe suhteliselt väikse kolmnurga.
Teeme selle siia.
Ma märgin selle rohelisega.
Mis on
selel kolmnurga pindala?
See on 1/2 korda alus korda kõrgus.
1/2 korda kõrgus, mis on 1.
.
Terve see kolmnurk.
Ja mis on selle kõrgus?
Me just jõudsime järeldusele, et see kõrgus siin,
on siinus x'st.
Korda siinus x.
.
See on see roheline kolmnurk siin.
Mis on selle kolmnurga pindala?
Ma teen selle teise värviga.
Ma teen punasega.
Mis on selle sektori pindala?
.
.
See ei ole küllalt teistsuguse värviga.
.
Ma lähen siia.
Ja siis mõõda kaart.
See on natuke suurem kui kolmnurk, mille
me just leidsime.
See on alati natuke suurem, sest
see koosneb ka pindalast kolmnurga ja kaare vahel.
Mis on selle selle kaare pindala?
.
Kui see nurk on x radiaani, mis osa
moodustab ta kogu ringist?
Kogu ühikringis on 2 pi radiaani.
Millega on see pindala võrdne.
See võrdub osaga x kogu
radiaanide ühikringi suurusest.
See on x radiaani jagatud 2 pii radiaaniga
kogu ühikringist.
See on selline osa, mis
kui osa jagatud 360'ga
kraadides, korda pindala kogu ringist.
See ütleb, mis osa peal me oleme ringis ja
me tahame korrutada seda
kogu pindalaga.
Mis on ringi pindala?
See on pii r ruudus, raadius on 1.
Ringipindala on seega pii.
.
Pii r ruudus, r on 1, ringi pindala-- selle kiilu
pindala siin on võrdne--
see pii taandub ära-- on võrdne x jagatud 2'ga.
See väike roheline, kolmnurk
mille me tegime on siinus x'st.
1/2 siinus x'st, see on rohelise kolmnurga pindala.
Veidi suurem pindala sellest kiilust on--
x jagatud 2'ga.
Ja nüüd leiame pindala sellele suurele kolmnurgale
siin.
Ja see võib olla kõige ilmsem.
1/2 alus korda kõrgus.
See on 1/2-- alus on jälle 1-- 1 korda
kõrgus, on tangens x'st.
Võrdne 1/2 tangens x'st.
Nüüd peaks olema selge diagrammile vaadates, et
ükskõik kuhu ma joonistasin selle ülemise joone, see roheline kolmnurk
omab väiksemat pindala kui see kiil, millel on väiksem pindala kui
sellel suuremal kolmnurgal.
.
Kirjutame võrratuse, mis ütleb, et.
Rohelise kolmnurga pindala, 1/2 siinus x'st
on väiksem
kui kiilu pindala.
See on x jagatud 2'ga.
Ja *** on mõlemad väiksemad kui selle suure
kolmnurga pindala.
Mis on 1/2 tangens x'st.
.
Millal on see tõene?
See on tõene, siis kui me oleme esimeses veerandis.
Niikaua kui me oleme esimeses veerandis.
See on peaaegu tõsi kui me oleme neljandas veerandis,
välja arvtud see, et siis siinus x'st läheb negatiiseks
tangens x'st muutub positiivseks, ja x negatiivseks.
Aga kui me võtame absoluutväärtuse kõigest, see ikkagi
kehtib 4. veerandis.
Sest kui me läheme negatiivseks, niikaua kui me võtame absoluutväärtuse
pikkus on ikka õige ja me ikkagi
saame positiivsed pindala.
Kuna minu eesmärgiks on võtta piirväärtus kui x läheneb 0'le.
Selleks, et see oleks üldiselt
defineeritud peab see olema tõene nii positiivselt kui ka
negatiivselt poolelt.
Võtame absoluutväärtuse mõlemast poolest.
Ja loodetavasti tundub see loogiline.
Kui ma teeksin joone siia alla--- ja see oleks
siinus x'st ja see oleks tangens x'st--- niikaua kui
sa võtad absoluutväärtuse kõigest, siis sa põhimõtteliselt
teed sama asja, mis esimeses veerandis.
Võtame kõigest absoluutväärtuse.
Ja sa ei pea muutma mitte midagi eriti kui sa oled
esimeses veerandis.
Ja sul tasub mõelda selle peale veidi, miks
see mitte midagi ei muuda teises veerandis.
Meil on selline võrratus.
Mängime sellega natuke.
Korrutame kõike kahega
ja vabaneme 1/2'st.
Me saame, et absoluutväärtus siinus x'st on väiksem kui absoluutväärtus
x'st, mis on väiksem kui absoluutväärtus
tangens x'st.
Ma loodan, et ma sind segadusse ei ajanud.
See esialgne võrratus oli täiesti õige
esimeses veerandis, aga ma tahan, et võrratus oleks tõene
esimeses ja neljandas, sest ma võtan piirväärtust
kui x läheneb 0'le mõlemalt poolelt, siis ma panen
selle absoluutväärtuse siia.
Sa võiksid tõmmata siia alla joone ja teha kõike, mida me tegeime
siin neljandas veerandis, aga lihtsalt võtaksime
absoluutväärtuse ja see peaks töötama sama moodi.
Tagasi ülesande juurde.
Meil on võrratus.
Mul saab ruum otsa.
.
.
Kustutan.
.
.
See ei kustuta.
Ok.
.
.
Me võiksime kõik ära kustutada.
Aga sida me ei tohi ära unustada.
See annab palju ruumi.
.
Võtame selle avaldise ja selle avaldise ja
jagame kõiki elemente.
Sellel on kolm elementi vasak,
keskmine ja parem.
Jagame neid kõiki absoluutväärtusega siinus x'st.
Ja kuna me teame, et absoluutväärtust siinus x'st
on positiivne arv, siis need väiksem võrdne märgid ei
muutu.
Teeme seda.
Absoluutväärtus siinus x'st jagatud
absoluutväärtusega siinus x'st, ja see võrdub 1'ga.
.
Mis on väiksem kui absoluutväärtus x'st jagatud
absoluutväärtusega siinus x'st.
.
Mis on väiksem-- mis on absoluutväärtus tangensist--
ma võtan absoluutväärtuse siinus x'st.
.
Mis on aboluutväärtus tangens x'st jagatud
absoluutväärtusega x'st.
Tangens on siinus jagatud koosiinusega.
See on võrdne-- tee see osa siin.
See on võrdne siinus jagatud koosiinusega jagatud siinusega.
Ja see on sama kui
absoluutväärtus.
Ja absoluutväärtus jagatud absoluutväärtusega.
Mis meile jääb?
Järgi jääb ainult 1--- see taandub ära
sellega, mis muutub üheks-- 1 jagatud absoluutväärtus
koosiinus x'st.
Sulle võib juba tunduda, et me oleme lähedal.
Sest see näeb välja päris sarnane sellega, ainult tagurpidi.
Et saada seda, pöörame ümber.
Ja, et pöörata, mis juhtub.
Mis juhtub kui sa ühte pöörad?
1/1 on 1.
Aga kui pöörad mõlemat võrratuse poolt, sa vahetad
võrratust.
Ja kui see ei tundu loogiline siis, mõtle sellele.
Kui ma ütlen 1/2 on väiksem kui 2 ja ma pööran mõlemaid pooli
ma saan, et 2 on suurem kui 1/2.
See loodetavasti andis veidi intuitiivsust.
kui ma pööran ümber kõik selle võrratuse elemendid,
ma pean vahetama võrratuse märke.
1 on suurem kui absoluutväärtus siinus x'st jagatud
absoluutväärtusega x'st, mis on suurem kui absoluutväärtus
koosiinus x'st.
Nüüd ma küsin sult küsimuse.
Absoluutväärtus siinus x jagatud-- esiteks
siinus x jagtud x'ga.
Kas kunagi juhtub, et siinus x'st jagatud x'ga on
esimeses või neljandas veerandis, kas kunagi
siinus x'st jagatud x'ga on negatiivne?
Esimeses veerandis siinus x on positiivne
ja x on positiivne.
Positiivne jagatud positiivsega on
positiivne.
Ja neljandas veerandis, siinus x'st on negatiivne, y on
negatiivne, ja nurk on negatiivne, seega x on
sammuti negatiivne.
Seega 4. veerandis, siinus x'st jagatud x'ga on
negatiivne jagatud negatiivsega.
Seega on see positiivne jälle.
Siinus x jagatud x on alati positiivne.
Absoluutväärtuse märgid on ülearused.
Me võiksime kirjutada, et 1 on suurem kui siinus xäst jagatud x'ga.
Ja sama loogika on 1. ja 4. veerandis.
.
Me tegeleme miinus pii jagatud 2 on väiksem kui x, mis
on väiksem kui pii jagatud 2'ga.
Seega me lähme miinus pii jagatud 2 pealt
kuni pii jagatud 2'ni.
Me oleme 1. ja 4. veerandis.
Kas koosiinus x on kunagi negatiivne?
Koosiinus on x'i väärtus ja x-- definitsiooni poolest
on 1. ja 4. veerandis-- x'i väärtus
on alati positiivne.
Kui see on alati positiivne, me saame alati vabaneda
absoluutväärtuste märgist siin ja lihtsalt kirjutada selle.
Ja nüüd me oleme valmis kasutama võileiva reeglit.
Las ma kustutan kõik selle ära.
.
Küsin sult küsimuse.
Mis on piirväärtus kui x läheneb 0'le.
funktsioonist 1?
Funktsioon 1 on alati võrdne 1'ga.
Ma võin piirväärtuse panna lähenema lõpmatusele,
pii'le, ükskõik millele.
See on alati võrdne 1'ga.
Kui x läheneb 0'le, see on võrdne 1'ga.
Ja siis mis on piirväärtus, kui x läheneb 0'le koosiinusx'st?
See on lihtne.
Kui x läheneb 0'le, koosiius 0'st on 1--
see on pidev funktsioon-- seega piirväärtus on 1.
Me oleme valmis kasutama võileiva reeglit.
Kui x läheneb 0'le see funktsioon
läheneb 1'le.
See funktsioon läheneb 1'le.
Ja see funktsioon on
kahe vahel.
Ja kui ta on kahe vahel, kui me lähneme--
läheneb 1'le kui me lähneme 0'le, see läheneb 1'le kui me
lähneme 0'le , ja see on nende vahel, seega see peab
sammuti lähenema 1 kui me läheneme 0'le.
Ja seega me kasutame võileiva teoreemi selle ja selle põhjal.
Ja sa võiksid õelda, seetõttu võileiva reegli põhjal
kuna see on tõene, see on tõene ja see on tõene,
siinus x'st jagatud x'ga, piirväärtus kui x läheneb 0'le on võrdne 1'ga.
Loodetavasti sul on intuitiivsust.
Teine viis kuidas seda vaadata, kui see joon läheb väiksemaks ja
väiksemaks kui see läheneb 0'le, see on
pindala ja see pindala lõik, pindala vahe peal peab
koonduma mõlema jaoks.
Ja kui sa tahad seda näha graafiliselt, ma olen
joonestanud selle siia.
Las ma proovin seda joonestada.
Ma näitan graafikut.
Et sa mind usuksid.
Kui ma ütleksin, et 1 on alati suurem kui siinus x'st, mis
on alati suurem kui koosiinus x'st, miinus pii jagatud 2
ja pii jagatud 2'ga vahel.
Ja muidugi, see ei ole defineeritud kohal x on võrdne 0'ga.
Aga me saame piirväärtuse välja mõelda.
Siin ta on.
Sinine joon on funktsioon 1'st.
Selle y on alati 1.
See helesinine joon siin on koosiinus x'st.
Ja see siin on siinus x jagatud x'ga graafik.
Ja me tegelikult kirjutasin selle sisse.
Siinus x'st jagatud x'ga, miinuspii jagatud 2 ja pii jagatud
2 või 4. ja 1., punane joon
on alati nende vahel.
.
Ja see annab lihtsalt tunnetuse, mis toimub
võileiva reegliga.
Me teame, et piirväärtus, kui helesinine joon
läheneb 0'le on 1.
Ja me teame, et piirväärtus kui see ülemine tumesinine joon
läheneb 0'le on 1.
Ja see punane joon on alati nende vahel,
seega see läheneb 1'le.
Siin ta on.
Tõestus, kasutades võileiva reeglit ja natuke
visuaalset trigonomeetriat, sellest, miks kui x läheneb 0'le
siinus x'st jagatud x'ga on võrdne 1'ga.
Ma loodan, et ma ei ajanud sind segadusse.