Tip:
Highlight text to annotate it
X
Ma tahan tuua kõik, mis me oleme õppinud
lineaarsest sõltumatusest ja sõltuvusest ning vektorite
hulga ulatusest kokku ühte raskemasse probleemi, sest
kui sa mõistad, milles see probleem on, siis ma arvan, et
sa mõistad, mida me teeme, mis on võti, et
sa saaksid aru lineaarsest algebrast, need kaks ideed.
Esimene küsimus, mis ma küsin vektorite hulga s ulatusest
ja *** on kõik kolme dimensioonilised vektorid,
neil on 3 komponenti, kas s-i ulatus on võrdne R3-ga.
Tundub, et see võib olla.
Kui iga nendest lisab uut infot, siis tundub, et
võib-olla ma saaksin kirjeldada igat vektorit R3-st nende
kolme vektoriga mingi kombinatsioonina nendest kolmest vektorist.
Teine küsimus, mis ma sul küsin on, kas need on
lineaarselt sõltumatud?
Ning võib-olla ma saan neile vastata samal ajal
Vastame esimesle.
Kas na ulatuvad R3?
Et ulatada R3, see tähendab, et mingi lineaar kombinatsioon
nendest kolmest vektorist peaks olema suuteline konstrueerima igat vektorit R3-s.
Las ma annan sulle lineaar kombinatsiooni nendest vektoritest.
Mul on c1 korda esimee vektor 1,-1, 2
pluss mingi teine välja mõeldud konstant c2, mingi skalaar,
korda teine vektor, 2,1 3 pluss mingi kolmas skalaar faktor korda
kolmas vektor -1,0,2.
Ma peaksin olema suuteline, kasutades mingit suvalist konstanti, võtta
mingi kombinatasioon nendest vektoritest, mis võrdub
ükskõik, mis vektoriga R3-s.
Ma esitan mistahes vektorit R3-s vektoriga a,
b ja c, kus a,b ja c on ükskõik, mis reaal number.
Nii et kui sa annad mulle mingi a,b,c,siis ma saan anda sulle
valemi, mis ütleb, mis on sinu c3, c2 ja
c1, siis see tähendab, et see ulatub
R3, sest kui sa annad mulle vektori, ma saan alati öelda
kuidas joonistada seda vektorit nende kolmega.
Proovime sda järgi.
Juba skalaarkorrutise definitsoonist
me teame, et c1 korda see vektor, ma saaksin selle
ümberkirjutada, kui ma tahaks.
Tavaliselt ma jätan selle sammu vahele, aga ma
tahan selle täiesti selgeks teha.
Seega c1 korda, ma võin selle kirjutada 1 korda c1--
iga element korda c1.
Samaselt, c2 korda see on sama, mis iga element
korda c2.
Ja c3 korda see on sama, mis iga element
korda c3.
Ma tahan näidata, et kõik, mis me teeme, see
tuleb vektori korrutamisest skalaariga,
mida me just tegime või
vektori liitmine, mida me kohe teemegi.
Seega vektori liitmine ütleb meiel, et see element korda see element
pluss see element peab olema võrdne selle elemendiga.
Las ma kirjutan selle üles.
Me saame c1 pluss 2c2 miinus c3 on võrdne a-ga.
Me saame teha sama järgmise reaga.
Miinus c1 pluss c2 pluss 0c3 peab olema võrdne b-ga.
Me saame miinus c1 pluss c2 pluss 0c3--me ei pea seda
isegi kirjutama-- on võrdne b-ga.
Lõpuks teeme viimase rea.
2c1 pluss 3c2 pluss 2c3 on võrdne c-ga.
Proovime, kas me leiame need erinevad konstandid
Ma teen seda eemaldamisega,
Ma arvan, et sa tead seda lahenduskäiku.
Ma arvan, et ma olen seda teinud varasemates lineaarse
algebra videodes.
Ning ma kordan seda teemat mõne video pärast, aga
ma arvan, et sa mõistad, kuidas
seda niimoodi lahendada.
Järgmiseks ma elimineerin need
kaks elementi ning seejärel ka selle elemendi ning siis
ma saan leida konstandid.
Kui ma tahan eemaldada seda elementi, siis ma
võiksin lisada sellele võrrandile selle.
Veelgi parem oleks, kui ma asendaks selle võrrandi
nende kahe võrrandi summaga.
Las ma teen selle.
Ma lihtsalt liidan need kaks võrrandit kokku
ja asendan selle nende summaga.
Miinus c1 pluss c1 on 0.
Ma võin selle kõrvale jätta.
c2 pluss 2c2 on 3c2.
0 pluss miinus c3 on võrdne miinus c3-ga.
Miinus c3 on võrdne--ma asendan selle nende
kahe summaga, seega b pluss a.
See on võrdne b pluss a-ga.
Ma kirjutan esimese võrrandi siia ülesse.
Ma ei tee esimese võrrandiga enam midagi.
Ma saan c1 pluss 2c2 miinus c3 on võrdne a-ga.
Viimases võrrandid tahan me eemaldada selle elemendi.
Võtame selle võrrandi ning lahutame selle
ülemisest võrrandist korda kaks.
Seda võib vaadata ka, et liidame selle miinus kahele korda
see ülemine võrrand.
Kuna me oleme peaaegu valmis, siis me lihtsalt
korrutame selle miinus kahega.
Sellest saab miinus 2v1 miinus 4c2 pluss 2c3 on
võrdne miinus 2a.
Kui sa korrutad iga elemendi--ma tahan olle
väga hoolikas.
Ma ei taha teha hooletut viga.
Miinus 2 korda c1 miinus 4 pluss 2 ja miinus 2.
Nüüd me saame need 2 kokku liita.
Mis me saame?
2c1 miinus 2c1 on 0.
Ma ei pea seda kirjutama.
3c2 miinus 4c2 on miinus c2.
Nüüd sul on 2c3 pluss 2c3, see on
4c3 ja see on võrdne c miinus 2a.
Ainus asi, mis ma tegin, oli et ma asendasin selle sellega miinus 2 korda see
ja sain selle.
Nüüd ma hoian oma ülemise võrrandi muutumatuna.
Ma ei tee sellega midagi, ma lihtsalt liigutan
seda paremale.
Ma saan c1 pluss 2c2 miinus c3 on võrdne a-ga.
Samuti ei muuda ma ka teist võrrandit ning saan
3c2 miinus c3 on võrdne b pluss a-ga.
Ma kerin edasi.
Ma tahan eemaldada selle viimase võrrandi.
Minu ülesanne on elimineerdia see element.
Ma tahan korrutada selle alumise võrrandi
kolmega ning liidan selle keskmisele võrrandile, et eemaldada
see element siin.
KUi ma korrutan selle alumise võrrandi kolmega--las ma
teen--tegelikult, ma ei taha teha asju segasemaks, nii et
sellest saab miinus 3 pluss kolm, need taanduvad.
Sellest saab 12 miinus 1.
Sellest saab 12c3 miinus c3, mis on 11c3.
Seejärel saab sellest--vabandust, ma olin juba lõpetanud.
Kui ma teen 3 korda see pluss see, need taandusid.
Ja kui ma korrutasin selle kolmega, ma saan 12c3 miinus
c3 ning see on 11c3.
Seejärel korrutasin selle kolmega pluss see ning sain 3c
miinus 6a--ma korrutan selle kolmega--pluss
see pluss b pluss a.
Kuidas ma saan selle ümberkirjutada?
Ma tahan teha midagi väga selgeks.
See c ei ole sama, mis c1,c2 ja c3, mis
mul olid siin üleval.
Ma arvan, et sa mõistad seda.
Ma just mõistsin, et ma kasutan c tähte kaks korda ja
ma ei tahtnud, et mingi segadus tekiks.
See c, millel ei ole indeksit, on erinev
konstant nendest siin.
Las ma üritan seda lihtsustada.
Meil on a ja miinus 6a, liidame need kokku.
Eemaldame selle a ja sellest saab miinus 5a.
Kui ma jagame mõlemad võrrandi pooled
11-ga, mis me saame?
Me saame, et c3 on võrdne 1/11 korda 3c miinus 5a.
Kui sa annad mulle suvalise a või c, siis ms suudan
sulle öelda, mis on c3.
Mis on c3?
c2 on võrdne--las ma lihtsustan seda
võrrandit siin.
Ma teen selle siin.
Kui ma lisan c3 mõlemale võrrandi poolele, siis ma saan
3c2 on võrdne b pluss a pluss c3.
Kui ma jagan mõlemad pooled kolmega, ma saan, et c2
on võrdne 1/3 korda b pluss a pluss c3.
Ma jätan selle niimoodi.
Millega on c1 võrdne?
Ma võiksin selle ülemise võrrandi ümberkirjutada, kui ma lahutan 2c2
ja liidan c3 mõlemale poole, ma saan c1 on võrdne
miinus 2c2 pluss c3.
Mis ma just näitasin sulle?
Sa võid anda mulle suvalise vektor R3-s, mis sa tahad leida
Sa võid anda mulle suvalise arvu a asemel, ükskõik, milline arv
b asemel ja suvaline arv c asemel.
Kui sa annad mulle need arvud, nüüd ma väidan, et
ma saan sulle alati öelda, et nende kolme vektori kombinatsioon
on võrdne nendega.
Tegelikult ma olen juba lahendanud, millega ma pean
korrutama need vektorid, et saada
kolmas vektor.
Sa annad mulle oma a-d, b-d ja c-d ning ma lihtsalt pean
asendama need nende a-de ja c-dega siin.
Vabandust.
Ma unustasin, et b on siin.
Seal on ka b.
See oli kahtlane, et ma ei pidanug tegelema b-ga.
Seega siin oli b.
See on 3c miinus 5a pluss b.
Ma kirjutan selle.
Siin sulgudes on b.
Ma arvan, et sa mõistad üldist mõtet.
Sa annad mulle a, b ja c asemel
suvalise reaalarvu.
Siin ei ole mingit jagamist ning seega ma ei pea
muretsema nulliga jagamise pärast.
See on lihtsalt lineaar kombinatsioon suvalisest
reaalarvust, ma võin võtta uue reaalarvu.
Sa annad mulle a,b ja c ning mina
annan sulle c3.
Nüüd sa andsin mulle a,b ja c.
Ma sain c3.
See on järjekordne reaalarv.
Ma võtan selle koos sinu eelmise a-de ja b-dega
ning ma saan anda sulle c2.
Me olime juba suutelised leida c2 ja c3 ning siis ma
kasutan ka sinu a-d ja
annan sulle c1.
Loodetavasti sa näed, et ükskõik, mis a, b ja c sa mulle
annad, ma saan anda sulle c2,c2 või c3.
Puudub põhjus, et mingi a,b või c korral see
valem ei toimiks.
Meil ei ole jagamist, seega null
ei rikuks seda valemit.
Ma võin kindlalt öelda, et vektorite hulk, need
kolm vektorit, ulatuvad R3.
Ma küsin veel ühe küsimuse.
Ma juba küsisin seda.
Kas need vektorid on lineaarselt sõltumatud?
Me ütlesime, et need saaksid olla lineaarselt sõltumatud
ainus lahendus valemile c1 korda esimene vektor [1,-1,2]
pluss c2 korda teine vektor [2,1,3] pluss c3 korda
kolmas vektori [-1,0,2].
Kui miski on lineaarselt sõltumatu, siis see tähendab, et
ainus lahendus sellele võrrandile-- ma tahan leida
mingi kombinatsiooni nendest vektoritest, mis kokku liites
on võrdne nullvektoriga ning ma tegin seda eelmises videos.
Kui *** on lineaarselt sõltuvad, siis seal peab olema
mingi lahendus, mis ei ole null.
Üks nendest konstantidest, vähemalt üks neist oleks
mitte null selleks lahendiks.
Sa võid need alati teha nulliks, aga kui *** on
lineaarselt sõltuvad, siis üks
nendest võib olla mitte null.
Kui *** on lineaarselt sõltumatud, siis kõik
need peavad olema-- ainult lahendus sellele võrrandile
oleks c1,c2,c3.
Kõik peavad olema võrdsed nulliga. c1,c2,c3 peavad olema
võrdsed nulliga.
Lineaarne sõltumatus eeldab seda, see eeldab
lineaarset sõltumatust.
See on täpselt sama asi, mis me siin tegime, aga selles
juhtumis ma valin oma a,b ja c asemele nullid.
See on a, see on b ja see on c, õigus?
Ma võin valida suvalise vektori R3-s oma a,b ja c-ks.
Ma valin nullvektori.
Vaatame, mis me saame c1,c2 ja c3-ks.
Minu a on võrdne b-ga on võrdne c-ga on võrdne nulliga.
Ma määran selle võrdseks nullvektoriga.
Milline lineaar kombintasioon nendest kolmest vektorist on
võrdne nullvektoriga?
Kui a,b ja c on kõik võrdsed nulliga see element on 0,
see on 0 ja see on 0.
Sul on 1/11 korda 0 miinus 0 pluss 0.
See on null.
Seega c3 on võrdne nulliga.
Kui c3 on võrdne nulliga, me juba teame, et a on võrdne
nulliga ja b on võrdne nulliga.
c2 on 1/3 korda null, mis on null.
Mis on c1?
See on c3, mis on 0.
c2 on null, seega 2 korda 0 on 0.
Seega c1 on võrdne a-ga.
Ma just ütlesin, et a on võrdne nulliga.
Ainus lahendus sellele võrrandile, ainus
lineaar kombinatsioon nendest kolmest vektorist, mille tulemuseks
on nullvektor, on kui sa korrutad kõik need nulliga.
Ma just näitasin, et c1,c2 ja c3 peavad olema nullid.
Kuna *** on kõik nullid, siis me teame, et see on
lineaarselt sõltumatu vektorite hulk.
Või et ühtegi nendest vektoritest ei saa esitada
kombinatsioonina teisest kahest.
See on huvitav.
Mul on täpselt kolm vektorit, mis ulatuvad R3 ja *** on
lineaarselt sõltumatud.
Minu ajus tähendab lineaarselt sõltumatu, et
mul ei ole üleliigseid vektoreid, ükskõik, mida oleks
saanud ehitada teiste vektoritega ja mul on
täpselt kolm vektorit ning need on R3 piirideks.
Üldises mõttes, kuid ma ei ole seda sulle tõestanud, aga ma
võiksin, et kui sul on täpselt kolm vektorit ja *** ulatuvad
R3, siis *** peavad olema lineaarselt sõltumatud.
Kui *** ei oleks linaarselt sõltumatud, siis üks
nendest vektoritest oleks üleliigne.
Oletame, et see on üleliigne.
Ma alati valin kolmanda, aga oletame, et
see on üleliigne, mis tähendab, et selle ulatus oleks
võrdne nende kahe ulatusega,õigus?
Kui see on üleliigne, siis ta võib olla
nende kahe ulatuse üks osa.
Kahe vektori ulatus ei saa kuangi olla R3.
Teistipidi möeldes, kui sul on kolm lineaarselt
sõltumatut-- kolm elementi ja *** on kõik sõltumatud, siis
sa saad öelda, et *** on R3 piirideks.
Ma ei ole seda sulle tõestanud, aga loodetavasti sa
said aimu, et iga uus vektor aitab kaasa uuele
suunale, õigus?
Üks läheb nii.
*** ei ole täiesti risti omavahel, aga
*** annavad piisavalt suunatundlikkust, et sa saaksid
lisada uue dimensiooni praegusele.
Loodetavasti see aitas sind natukene ja ma näen
sind järgmises videos.